Визуализация суперпозиции и стоячих волн: практикум с историей и вычислениями (необязательный модуль)

Принцип суперпозиции утверждает: смещение среды в каждой точке равно сумме смещений, которые создала бы каждая волна по отдельности. Если навстречу друг другу бегут две волны с одинаковыми частотой и амплитудой, их сумма не переносит энергию вдоль оси и образует стоячую волну $y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t)$. Точки, где $\sin(kx)=0$, остаются неподвижными всегда — это узлы, и расстояние между соседними узлами равно $\lambda/2$. Точки, где $|\sin(kx)|=1$, колеблются с максимальной амплитудой $2A$ — это пучности. Границы задают спектр собственных частот: для струны, закреплённой с двух концов, $L=n\lambda/2$ и $f_n=\dfrac{nv}{2L}$. Именно такие картины исследовали Хладни (фигуры на пластинах, 1787), Мельде (колеблющаяся струна, 1859) и Кундт (пыль в трубе, 1866).

Две волны одинаковой амплитуды $A=0{,}020$ м и длины волны $\lambda=0{,}80$ м бегут навстречу друг другу: $y_1=A\sin(kx-\omega t)$ и $y_2=A\sin(kx+\omega t)$. Найдите смещение в точке $x=0{,}30$ м в момент $t=0$ и определите, является ли эта точка узлом или пучностью.

В опыте Кундта в стеклянной трубе с воздухом пыль образует кучки, расстояние между соседними кучками $0{,}170$ м. Скорость звука в воздухе $v=340$ м/с, длина трубы $L=0{,}510$ м. Найдите длину волны, частоту и номер гармоники.

Опыт Мельде: струна длиной $L=1{,}50$ м между вибратором и блоком имеет линейную плотность $\mu=2{,}0$ г/м. Вибратор работает на частоте $f=120$ Гц. Найдите натяжение $T$, при котором на струне укладывается ровно $n=4$ петли, и укажите координаты узлов и пучностей.

Практикум проводится в симуляции, а не с настоящим высоковольтным вибратором, поэтому работа безопасна.

1. Откройте PhET «Волна на струне» (Wave on a String) и выберите режим Oscillate и закреплённый конец (Fixed End).
2. Установите амплитуду $0{,}5$ см и частоту $1{,}5$ Гц, включите Slow Motion и Show Rulers.
3. Поставьте симуляцию на паузу в момент максимума и запишите координаты неподвижных точек (узлов) и точек наибольшего размаха (пучностей).
4. Повторите для частот $1{,}0$, $2{,}0$ и $2{,}5$ Гц и заполните таблицу: $f$, число петель $n$, $\lambda=2L/n$, $v=f\lambda$.
5. Сравните полученную скорость с заданной в симуляции и с формулой $v=f\lambda$; объясните, почему узлы не движутся, хотя волны бегут.
6. Дополнительно проверьте: расстояние между соседними узлами всегда равно $\lambda/2$ — измерьте его линейкой и сопоставьте с расчётом.

Показать, как сложение двух бегущих навстречу волн даёт неподвижные узлы и колеблющиеся пучности, и связать расстояние между узлами с длиной волны.

Диаграмма из трёх панелей на общей оси $x$.

• Верхняя панель: волна $y_1=A\sin(kx-\omega t)$, бегущая вправо (стрелка).
• Средняя панель: волна $y_2=A\sin(kx+\omega t)$, бегущая влево (стрелка).
• Нижняя панель: их сумма $y=2A\sin(kx)\cos(\omega t)$ в момент максимального размаха; узлы отмечены точками У (N) и соединены штриховой линией, пучности — метками П (A) с указанием стрелками расстояния $\lambda/2$ между соседними узлами.

На графике также видна огибающая $2A|\sin(kx)|$ из тонких пунктирных линий.

В школьном спортзале верёвка длиной $L = 4.0\,\text{m}$ закреплена на обоих концах и колеблется с частотой $f = 2.5\,\text{Hz}$. Верёвка образует фигуру из $n = 2$ петель: три точки не движутся вовсе ($x = 0$, $x = 2.0\,\text{m}$, $x = 4.0\,\text{m}$), а две другие качаются с наибольшей амплитудой $\pm 0.30\,\text{m}$. Для этой моды $\lambda = 2L/n = 4.0\,\text{m}$, поэтому скорость волны вдоль верёвки $v = f\lambda = 2.5 \times 4.0 = 10\,\text{m/s}$.

Каждая петля — это сумма волны, бегущей вправо, и волны, отражённой от закреплённого конца. В трёх узловых точках два смещения всегда равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому их сумма равна нулю в любой момент — это и есть определение узла. Посередине между соседними узлами обе волны приходят в фазе, и амплитуда удваивается до $2A$; условие целого числа полуволн $L = n\lambda/2$, то есть $\lambda_n = 2L/n$, отбирает те частоты, при которых устанавливается стоячая картина, а не бегущая волна.

Микроволновая печь возбуждает камеру на частоте $f = 2.45\,\text{GHz}$. При $c = 3.00\times10^{8}\,\text{m/s}$ длина волны в воздухе равна $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3.00\times10^{8}}{2.45\times10^{9}} = 0.122\,\text{m} \approx 12.2\,\text{cm}.$ Металлические стенки отражают волну, поэтому электрическое поле образует стоячую картину; области, которые греют еду сильнее всего (пучности электрического поля), отстоят друг от друга на $\lambda/2 \approx 6.1\,\text{cm}$. Поперёк камеры шириной $25\,\text{cm}$ укладывается около $25/6.1 \approx 4$ горячих полос, поэтому вращающийся поддон не даёт еде застрять в холодной полосе.

Здесь складываются две одинаковые волны, бегущие навстречу друг другу: одна создана магнетроном, другая отражена металлической стенкой. Сумма в неподвижной точке пространства колеблется с постоянной амплитудой $2A\cos(2\pi x/\lambda)$ — нуль у самой стенки (узел: на поверхности проводника $E = 0$) и максимум на расстоянии $\lambda/2$ от неё. Поддон усредняет нагрев по многим положениям продукта, так что карта узлов и пучностей — главная причина, по которой печь снабжают вращающейся тарелкой.

Наушники с активным шумоподавлением слушают окружающий звук и излучают его «зеркальную» копию. Пусть вентилятор гудит на частоте $f = 150\,\text{Hz}$ с амплитудой звукового давления $0.20\,\text{Pa}$. В воздухе при $20^{\circ}\text{C}$ ($v = 343\,\text{m/s}$) длина волны $\lambda = v/f = 343/150 = 2.29\,\text{m}$, а один период длится $T = 1/f = 6.7\,\text{ms}$. Чтобы погасить гул, сигнал наушников должен быть задержан на половину периода: $\Delta t = T/2 = 3.3\,\text{ms}$, что отвечает сдвигу фаз $\Delta\varphi = \pi$.

Это суперпозиция во времени, а не в пространстве: у барабанной перепонки два звуковых давления складываются алгебраически. При равных амплитудах и $\Delta\varphi = \pi$ суммарное давление равно $0\,\text{Pa}$ (полная деструктивная интерференция), а при $\Delta\varphi = 0$ получилось бы $0.40\,\text{Pa}$. Реальные наушники дают снижение на $10$–$20\,\text{dB}$, потому что совпадение амплитуд и задержка на полпериода выполняются лишь приближённо.