Проекции векторов и перемещение: от графика к расчёту

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела: $\vec{s} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$. Проекция вектора на ось — это число со знаком, равное координатному сдвигу вдоль этой оси: $s_x = x_2 - x_1$ и $s_y = y_2 - y_1$. Знак проекции задаёт направление вдоль оси: плюс — по оси, минус — против неё, а модуль вектора находится по теореме Пифагора $s = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$. График движения связывает проекции с временем: на графике $x(t)$ проекция перемещения равна разности ординат, а на графике $v_x(t)$ — площади под графиком, взятой со знаком. Поэтому путь и модуль перемещения совпадают только тогда, когда тело не меняет направления движения. Так график превращается в источник исходных данных для векторного расчёта.

На графике $x(t)$ тело в момент $t_1 = 0$ имеет координату $x_1 = 2$ м, а в момент $t_2 = 4$ с — координату $x_2 = 8$ м. Найдите проекцию перемещения на ось $Ox$ за этот интервал времени.

Точка переместилась из положения $A(1;\,2)$ м в положение $B(4;\,6)$ м. Найдите проекции перемещения на оси $Ox$ и $Oy$, модуль перемещения и угол между вектором перемещения и осью $Ox$.

На графике $v_x(t)$ проекция скорости тела равна $v_x = +4$ м/с от $t = 0$ до $t = 3$ с, а затем $v_x = -2$ м/с от $t = 3$ с до $t = 5$ с. Найдите проекцию перемещения на ось $Ox$ за все 5 с, модуль перемещения и пройденный путь.

Работайте в симуляции (например, PhET «Сложение векторов» или «Движение человека»), чтобы не измерять перемещения на дорогах и в опасных местах.

1. Задайте начальную точку $A(1;\,1)$ м и конечную $B(5;\,4)$ м; включите показ компонент вектора.
2. Сравните показанные симуляцией компоненты с вашим расчётом $s_x = x_2 - x_1$, $s_y = y_2 - y_1$ и модулем $s = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$.
3. Переставьте точки так, чтобы одна из проекций стала отрицательной, и объясните, как это изменило знак и направление вектора.
4. Постройте график $v_x(t)$ из двух горизонтальных участков разного знака и проверьте, что площадь со знаком даёт ту же проекцию перемещения, что и разность координат.
5. Занесите результаты в таблицу: точка $A$, точка $B$, $s_x$, $s_y$, $s$, угол, путь.

Показать, как один и тот же вектор перемещения раскладывается на проекции по осям и как знак проекции берётся из графика движения.

Скетч: оси $Ox$ и $Oy$, точки $A$ и $B$, вектор $\vec{s} = \overrightarrow{AB}$, пунктирные перпендикуляры к осям с подписями $s_x = x_2 - x_1$ и $s_y = y_2 - y_1$, прямоугольный треугольник с гипотенузой $s$ и углом $\theta$ у оси $Ox$. Рядом — график $v_x(t)$ из двух горизонтальных участков со штриховкой площадей $+12$ м и $-4$ м.

Футболист получает мяч у углового флажка и бежит навстречу передаче: сначала $30$ м вдоль боковой линии (на восток), затем $40$ м вверх по полю (на север). Тренер спрашивает, на каком расстоянии от углового флажка и в каком направлении окажется игрок.

Перемещение — векторная сумма двух отрезков: проекции на оси восток–север складываются покомпонентно ($s_x=30$ м, $s_y=40$ м), модуль находится по теореме Пифагора $|\vec s|=\sqrt{s_x^2+s_y^2}=50$ м, а направление задаёт $\tan\theta=s_y/s_x$, то есть $\theta\approx 53^\circ$ к востоку.

Самолёт летит со скоростью $200$ км/ч строго на восток, а боковой ветер сносит его на север со скоростью $50$ км/ч. Диспетчер должен знать скорость самолёта относительно земли и угол сноса.

Скорость относительно земли — векторная сумма собственной скорости и скорости ветра: проекции на оси равны $v_x=200$ км/ч и $v_y=50$ км/ч, модуль $|\vec v|=\sqrt{200^2+50^2}\approx 206$ км/ч, а угол сноса $\arctan(50/200)\approx 14^\circ$ считается по отношению проекций.

Трос висячего моста натянут с силой $5000$ Н под углом $30^\circ$ к горизонтали и удерживает часть пролёта. Инженеру нужно узнать, какая доля натяжения тянет пролёт горизонтально, а какая — вертикально.

Сила — вектор, а её проекции на оси находятся через косинус и синус угла: $F_x=F\cos 30^\circ\approx 4330$ Н и $F_y=F\sin 30^\circ=2500$ Н. Эти проекции независимы, и именно они показывают, какие доли одного и того же вектора действуют вдоль каждого направления.