Трансформатор и передача электрической энергии

Трансформатор работает на явлении электромагнитной индукции: переменный ток в первичной обмотке создаёт переменный магнитный поток в сердечнике, а этот поток индуцирует ЭДС во вторичной обмотке. Обе обмотки пронизывает практически один и тот же поток, поэтому ЭДС пропорциональны числам витков:

$$\frac{U_2}{U_1}=\frac{N_2}{N_1}.$$

Для идеального трансформатора мощность сохраняется:

$$U_1I_1=U_2I_2,$$

значит, повышая напряжение в $k$ раз, мы во столько же раз уменьшаем ток. При передаче энергии по линии с сопротивлением $R$ потери равны $P_{loss}=I^2R$, поэтому уменьшение тока резко снижает потери. Именно поэтому перед линией напряжение повышают, а перед потребителем понижают. Трансформатор не может работать на постоянном токе: без изменения магнитного потока ЭДС во вторичной обмотке не возникает.

Идеальный трансформатор включён в сеть с напряжением $U_1 = 240$ В. В первичной обмотке $N_1 = 1000$ витков, во вторичной $N_2 = 50$ витков. Найдите напряжение $U_2$ на вторичной обмотке и определите тип трансформатора.

Электростанция передаёт мощность $P = 10$ МВт по линии с сопротивлением $R = 2$ Ом. Сравните потери мощности в линии при напряжении передачи (а) $U_A = 10$ кВ и (б) $U_B = 400$ кВ. Выразите потери в процентах от $P$.

Генератор даёт мощность $P = 100$ кВт при напряжении 2 кВ. Посёлок соединён с ним линией сопротивлением $R = 5$ Ом.

• Вариант A: передавать энергию прямо при 2 кВ.
• Вариант B: идеальным трансформатором повысить напряжение до 40 кВ, передать по линии и понизить идеальным трансформатором с отношением витков $100:1$.

Для каждого варианта найдите потери в линии и напряжение, приходящее к посёлку. Какой вариант выбрать?

Самопроверка в симуляции (безопасно, без сети).

1. Откройте интерактивную модель цепи переменного тока с идеальным трансформатором (регулируемые $N_1$, $N_2$ и активная нагрузка). Не подключайте к сети настоящие трансформаторы: работа с напряжением 220 В опасна.
2. Зафиксируйте $U_1 = 100$ В и $N_1 = 1000$ витков. Меняйте $N_2$ от 100 до 2000 с шагом 100, записывая $U_2$ и $I_2$ при неизменном сопротивлении нагрузки.
3. Постройте график $U_2$ от $N_2$ и проверьте на каждой точке равенство $U_1I_1 \approx U_2I_2$. Отметьте, где трансформатор повышающий, а где понижающий.
4. В таблице задайте $P = 1$ МВт, $R = 4$ Ом и рассчитайте $P_{loss}\% = \frac{(P/U)^2 R}{P} \cdot 100\%$ для $U$ от 1 кВ до 100 кВ. Постройте график зависимости доли потерь от напряжения передачи (логарифмическая ось $U$) и сформулируйте вывод одной фразой.

Показать всю цепочку передачи энергии и количественную связь между напряжением передачи и потерями в линии.

Схема с двумя частями. Слева — цепь: генератор $\rightarrow$ повышающий трансформатор ($N_1:N_2$) $\rightarrow$ линия с сопротивлением $R$ $\rightarrow$ понижающий трансформатор $\rightarrow$ потребитель; у каждого элемента подписаны $U$ и $I$, стрелками показано направление передачи мощности. Справа — небольшой график: по горизонтальной оси напряжение передачи $U$ (логарифмическая шкала), по вертикальной — доля потерь $I^2R/P$ в процентах; кривая монотонно падает, отмечены точки для 10 кВ и 400 кВ.

Электростанция передаёт $P = 1000$ МВт в город на расстоянии $200$ км. Общее сопротивление линии $R = 10\ \Omega$. Перед линией повышающий трансформатор поднимает напряжение генератора с $20$ кВ до $400$ кВ. При $400$ кВ ток в линии равен $I = P/V = 2500$ А, поэтому нагрев линии даёт потери $P_{\text{loss}} = I^2 R = 62.5$ МВт, около $6.3\%$ переданной мощности. Если бы ту же мощность передавали при $20$ кВ, ток был бы $50\,000$ А, а потери — $25\,000$ МВт, что не выдержит ни одна реальная линия. У города подстанции понижают напряжение до $10$ кВ, а затем до $400$ В для домов.

Здесь используются соотношения идеального трансформатора $V_1/V_2 = N_1/N_2$ и $P_1 = P_2$, а также отношение токов $I_1/I_2 = N_2/N_1$. Это также показывает причину высоковольтной передачи: при заданной мощности $I = P/V$, поэтому повышение $V$ снижает $I$, и резистивные потери $I^2 R$ падают как $1/V^2$.

Зарядное устройство включено в розетку $230$ В и выдаёт телефону $5$ В при $2$ А, то есть выходная мощность $10$ Вт. Внутри зарядки стоит маленький трансформатор с отношением витков примерно $46:1$, а после него — выпрямитель, превращающий переменный ток в постоянный. Из розетки при этом течёт ток около $10/230 \approx 0.043$ А.

Это применяет уравнение понижающего трансформатора $V_2 = V_1 N_2/N_1$: чтобы получить $5$ В из $230$ В, во вторичной обмотке должно быть примерно в $46$ раз меньше витков, чем в первичной. Здесь также видно сохранение мощности $P_1 = P_2$ в идеальном трансформаторе: маленький первичный ток $0.043$ А при $230$ В даёт те же $10$ Вт, что $2$ А при $5$ В.

Электровоз получает энергию от контактного провода под напряжением $25$ кВ и с помощью бортового трансформатора понижает напряжение до $1.5$ кВ для тяговых двигателей. При входной мощности двигателей $5$ МВт вторичный ток равен $I = P/V = 5\,000\,000/1500 \approx 3333$ А, а первичный ток всего $5\,000\,000/25\,000 = 200$ А. Поэтому контактный провод несёт гораздо меньший ток и теряет меньше энергии на своём сопротивлении.

Это упражняет те же соотношения понижающего трансформатора, что и зарядка, но при большой мощности: $V_1/V_2 = N_1/N_2$ и $I_1/I_2 = N_2/N_1$. Здесь видно, почему в транспорте используют высокое напряжение в контактной сети: при той же мощности меньший ток в длинном проводе означает меньшие потери $I^2 R$.