Момент силы, плечо силы и сложение сил

Твёрдое тело нельзя свести к одной точке: сила, приложенная к нему, не только сообщает ускорение центру масс, но и стремится повернуть тело вокруг оси. Мерой этого вращательного действия служит момент силы относительно выбранной точки $O$: $M_O = F\,d,$ где $d$ — плечо силы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на линию действия силы. Если известен угол $\alpha$ между вектором $\vec F$ и вектором $\vec r$, проведённым из точки $O$ в точку приложения силы, то $d = r\sin\alpha$, а в векторной форме $\vec M = \vec r \times \vec F$. Момент считают положительным при повороте против часовой стрелки и отрицательным — по часовой стрелке; важно лишь придерживаться одного выбранного правила. Равновесие твёрдого тела требует не только $\sum \vec F = 0$, но и $\sum M_O = 0$ относительно любой точки. Силы, приложенные к телу, можно сложить векторно: равнодействующая $\vec R = \sum \vec F_i$ заменяет их в уравнении движения центра масс, но не обязательно заменяет их по вращательному действию.

К гаечному ключу приложена сила $F = 50\ \text{Н}$ в точке, находящейся на расстоянии $r = 0{,}40\ \text{м}$ от оси гайки. Угол между вектором силы и отрезком от оси до точки приложения равен $\alpha = 30^\circ$. Найдите момент силы относительно оси гайки.

Невесомый стержень закреплён на оси $O$. Слева на расстоянии $0{,}20\ \text{м}$ от оси к нему перпендикулярно вниз приложена сила $F_1 = 40\ \text{Н}$. Справа на расстоянии $0{,}50\ \text{м}$ приложена сила $F_2$, направленная под углом $30^\circ$ к стержню. 1) Найдите $F_2$, при которой стержень находится в равновесии. 2) Найдите модуль силы, действующей на стержень со стороны оси.

К невесомому стержню длиной $L = 0{,}60\ \text{м}$ приложены две равные по модулю силы $F = 15\ \text{Н}$: на левом конце — вниз, на правом — вверх; обе перпендикулярны стержню. 1) Найдите равнодействующую всех сил. 2) Вычислите суммарный момент относительно середины стержня и относительно левого конца. 3) Объясните, почему знания только равнодействующей недостаточно, чтобы описать поведение стержня.

Опыт с линейкой и монетами. Положите линейку на круглый карандаш так, чтобы она балансировала: точка опоры — это ось вращения. Кладите одинаковые монеты слева и справа на разных расстояниях от опоры и подберите положение, при котором линейка остаётся горизонтальной; измерьте плечи и проверьте, что $\sum M = 0$ (момент одной монеты пропорционален расстоянию до опоры). Затем привяжите нитку к линейке и потяните под углом $90^\circ$, а потом под углом $30^\circ$ с той же силой — момент уменьшится, потому что плечо равно $r\sin\alpha$. Если линейки или монет нет, откройте симуляцию PhET «Balancing Act» и выполните те же опыты с грузами на коромысле, включая случай двух равных противоположных сил (пара сил). Работайте на столе, не подвешивайте грузы над краем стола и не используйте тяжёлые или острые предметы.

Показать, что момент зависит не от силы или расстояния по отдельности, а от плеча — перпендикуляра к линии действия силы, и что моменты складываются как знаковые величины, тогда как силы складываются как векторы.

Схема: горизонтальный стержень с осью $O$; в точке $A$ приложена сила $\vec F$ под углом $\alpha$ к стержню; из $O$ на линию действия силы опущен пунктирный перпендикуляр длины $d = r\sin\alpha$. Рядом — векторный треугольник сложения сил $\vec F_1 + \vec F_2 = \vec R$ и небольшая таблица знаков моментов (против часовой стрелки — «$+$», по часовой — «$-$»).

На школьных качелях-балансире слева сидит ребёнок массой $30$ кг на расстоянии $1.5$ м от опоры, справа — ребёнок массой $45$ кг на расстоянии $1.0$ м. Их веса равны $294$ Н и $441$ Н. Момент слева: $294\,\mathrm{N}\cdot1.5\,\mathrm{m}=441\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$; момент справа: $441\,\mathrm{N}\cdot1.0\,\mathrm{m}=441\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$ в противоположном направлении. Доска остаётся горизонтальной.

Здесь работает момент силы относительно оси: вращательное действие веса зависит от расстояния до опоры. Противоположные знаки моментов показывают, как складываются вращательные действия; силы направлены вертикально, а их сумма уравновешивается силой реакции опоры.

Водитель откручивает гайку колеса ключом с рукояткой длиной $0.30$ м. Если он давит перпендикулярно рукоятке силой $150$ Н, момент равен $150\,\mathrm{N}\cdot0.30\,\mathrm{m}=45\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$. Если сила направлена под углом $45^\circ$ к рукоятке, то перпендикулярная составляющая равна $150\sin45^\circ\approx106\,\mathrm{N}$, а момент $106\,\mathrm{N}\cdot0.30\,\mathrm{m}\approx31.8\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$.

Сценарий тренирует разложение силы на составляющие и понятие плеча: только составляющая, перпендикулярная линии от оси к точке приложения, создаёт момент. Плечо можно взять как $d=r\sin\theta$, где $r=0.30$ м, $\theta=45^\circ$.

Ширина дверцы холодильника от петель до ручки равна $0.60$ м. Если тянуть за ручку с силой $15$ Н перпендикулярно плоскости дверцы, момент относительно оси петель равен $15\,\mathrm{N}\cdot0.60\,\mathrm{m}=9\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$. Чтобы получить такой же момент, толкая дверцу на расстоянии $0.10$ м от петель, нужна сила $9/0.10=90$ Н. Если толкать вдоль плоскости дверцы по направлению к петлям, момент равен нулю.

Здесь видно, что момент определяется плечом — кратчайшим расстоянием от оси до линии действия силы. Сила, линия действия которой проходит через ось, имеет нулевое плечо; сила, перпендикулярная дверце, использует всё плечо $0.60$ м.