Скорость и средняя скорость: путь за время

Скорость показывает, какой путь тело проходит за единицу времени, а при неравномерном движении используют среднюю скорость — отношение всего пути $s$ ко всему времени движения $t$:

$$\bar{v} = \frac{s}{t}.$$

Величина $s$ в этой формуле — путь, то есть длина траектории (скаляр, $s \ge 0$), а не перемещение $\Delta \vec{r}$, которое является вектором и соединяет начальную и конечную точки. Поэтому средняя путевая скорость и средняя скорость перемещения совпадают только при прямолинейном движении без поворотов и возвратов. Мгновенная скорость $v$ описывает движение в данный момент времени и равна средней только при равномерном движении, когда $s = v t$. Главная ловушка: средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей на участках, потому что складывать нужно пути и времена, а не сами скорости. В СИ скорость измеряется в метрах в секунду, причём $1\ \text{м/с} = 3.6\ \text{км/ч}$.

Велосипедист проехал по прямой $s = 12$ км за $t = 0.5$ ч. Найдите его среднюю скорость в км/ч и в м/с.

Автомобиль прошёл первый участок $s_1 = 30$ км за $t_1 = 0.5$ ч, затем стоял на светофоре $t_2 = 0.25$ ч, а последние $s_3 = 45$ км проехал за $t_3 = 0.75$ ч. Найдите среднюю скорость на всём пути. Считайте, что все участки лежат на одной прямой.

Первую половину пути тело прошло со скоростью $v_1 = 30$ км/ч, вторую половину — со скоростью $v_2 = 60$ км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути и объясните, почему она не равна $45$ км/ч. Получите общую формулу для одинаковых по длине половин пути.

Измерение средней скорости шага (безопасно, дома).

1. Отмерьте в коридоре или комнате участок длиной $s = 10$ м (рулеткой или шагами известной длины, проверив её трижды).
2. Пройдите этот участок спокойным шагом три раза, засекая время телефонным секундомером. Записывайте $t_1, t_2, t_3$.
3. Для каждого прохода вычислите $\bar{v} = s/t$ и найдите среднее по трём опытам. Переведите результат в км/ч.
4. Повторите опыт с остановкой на 5 с посередине участка. Убедитесь, что путь остался тем же, а средняя скорость уменьшилась.
   Правила безопасности: измеряйте только в помещении или на закрытой площадке, вдали от проезжей части; не бегайте по лестницам и мокрому полу.
   Если нужны большие скорости: не выходите на дорогу, а смоделируйте движение — например, в симуляции PhET «Moving Man»: задайте постоянную скорость, затем добавьте паузу в середине и сравните средний наклон графика с мгновенным.

Показать, что средняя скорость — это наклон секущей на графике зависимости пути от времени, а остановка даёт на графике горизонтальный участок.

График (скетч): оси $t$ (горизонтальная) и $s$ (вертикальная). Ломаная из трёх звеньев: пологий подъём при скорости $v_1$, горизонтальная полка длительностью $t_2$ (остановка), затем более крутой подъём при $v_3$. Из начала в конец ломаной проведена штриховая секущая; рядом подпись $\bar{v} = s/t$, то есть её наклон. Углы наклона отдельных звеньев подписаны как мгновенные (участковые) скорости, и видно, что наклон секущей лежит между ними.

Бегун пробегает 100 м по прямой дорожке за $12.5\ \text{с}$. Рулетка даёт длину дорожки, секундомер — полное время. Делим: $v_{avg}=\frac{100\ \text{м}}{12.5\ \text{с}}=8.0\ \text{м/с},$ что равно $28.8\ \text{км/ч}$. Мировой рекорд $9.58\ \text{с}$ даёт $v_{avg}=\frac{100\ \text{м}}{9.58\ \text{с}}=10.44\ \text{м/с}\approx 37.6\ \text{км/ч}.$ При этом в конце разгона бегун движется мгновенно быстрее — около $12\ \text{м/с}$, то есть больше любой из этих средних величин.

Работает определение средней скорости как отношения всего пути ко всему времени: $v_{avg}=\frac{s}{\Delta t}.$ Путь $s=100\ \text{м}$ измерен вдоль дорожки в системе отсчёта стадиона, $\Delta t$ — по секундомеру, стоящему на старте. Мгновенная скорость $12\ \text{м/с}$ выше средней, потому что средняя «размазана» по всему интервалу $\Delta t$, включая медленный старт.

Автомобиль едет по шоссе: первые $90\ \text{км}$ со скоростью $90\ \text{км/ч}$, то есть $1.0\ \text{ч}$; затем ещё $90\ \text{км}$ со скоростью $60\ \text{км/ч}$, то есть $1.5\ \text{ч}$. Общий путь $s=180\ \text{км}$, общее время $\Delta t=2.5\ \text{ч}$, значит $v_{avg}=\frac{180\ \text{км}}{2.5\ \text{ч}}=72\ \text{км/ч}\approx 20\ \text{м/с}.$ Если по ошибке усреднить числа $90$ и $60$, получится $75\ \text{км/ч}$ — на $3\ \text{км/ч}$ больше.

Здесь средняя скорость считается через суммарный путь и суммарное время, а не как среднее арифметическое двух скоростей: $v_{avg}=\frac{s_1+s_2}{\Delta t_1+\Delta t_2}=\frac{90+90}{1.0+1.5}=72\ \text{км/ч}.$ Путь складывается вдоль трассы шоссе в системе отсчёта дороги, время складывается на часах водителя. Два отрезка с разными скоростями дают одну среднюю только по этому правилу.

После вспышки молнии гром слышен через $3.0\ \text{с}$. Скорость звука в воздухе при $20\ ^\circ\text{C}$ равна $343\ \text{м/с}$. Тогда $s=v\,t=343\ \text{м/с}\cdot 3.0\ \text{с}=1030\ \text{м}\approx 1.0\ \text{км}.$ Свет от той же вспышки проходит то же расстояние практически мгновенно: при $c=3.0\cdot 10^{8}\ \text{м/с}$ время равно $3.4\ \mu\text{с}$, то есть задержка $3.0\ \text{с}$ целиком принадлежит звуку.

Из определения скорости $v=s/t$ следует расчётная форма $s=v\,t$; именно она применена, чтобы найти расстояние по времени. Скорость звука $343\ \text{м/с}$ — это средняя скорость распространения фронта волны в воздухе при $20\ ^\circ\text{C}$, измеренная в системе отсчёта земли (воздух считается неподвижным).