Простые механизмы и момент силы: рычаг как инструмент управления вращением

Простой механизм не создаёт работу: он позволяет обменять силу на перемещение. Рычаг делает это за счёт вращения вокруг точки опоры, а вращающее действие силы описывается её моментом: $\tau = rF\sin\theta,$ где $r$ — расстояние от опоры до точки приложения силы (вектор положения), а $\theta$ — угол между силой и отрезком от опоры до точки приложения силы. Рычаг находится в равновесии вращения, когда моменты силы и нагрузки взаимно компенсируются: $F_1 l_1 = F_2 l_2,$ где $l_1$ и $l_2$ — перпендикулярные расстояния от опоры (плечи силы). Отсюда идеальный выигрыш в силе $MA = l_1/l_2 = F_2/F_1$: длинное плечо приложения силы увеличивает силу, но заставляет точку приложения проходить больший путь. В реальных рычагах часть входной работы теряется на трение, поэтому КПД $\eta = W_{out}/W_{in} = (F_2 d_2)/(F_1 d_1)$ всегда меньше 1, и идеальное соотношение уточняется до $F_1 l_1 \eta = F_2 l_2$.

Рычаг имеет плечо силы 2,0 м и плечо нагрузки 0,50 м. К длинному плечу перпендикулярно прикладывают силу 120 Н. Пренебрегая трением, найдите силу, которую можно уравновесить, и выигрыш в силе.

Тот же рычаг (плечо силы 2,0 м, плечо нагрузки 0,50 м) имеет КПД 75 %. Какую силу надо приложить, чтобы поднять груз 480 Н? Какую работу совершит эта сила, если груз поднимется на 0,10 м?

Рабочему нужно поднять ящик весом 900 Н рычагом, длина штанги которого 1,50 м. Прикладываемая сила не должна превышать 200 Н, а КПД рычага равен 75 %. а) Найдите наименьшее плечо силы, при котором это возможно. б) Выполнима ли задача с такой штангой? в) Сравните работу рабочего с полезной работой, если ящик поднимается на 0,05 м.

Проведите исследование в симуляции рычага (например, PhET «Balancing Act» или «Torque»), чтобы избежать опасных нагрузок на реальные опоры.

1. Поместите груз 10 кг на расстоянии 0,5 м слева от опоры. Подберите груз справа на расстоянии 1,0 м так, чтобы балка уравновесилась, и запишите его массу.
2. Вычислите моменты слева и справа по формуле $\tau = rF\sin\theta$ (сила тяжести $F = mg$, $\theta = 90^\circ$) и убедитесь, что они равны.
3. Удвойте правое плечо и повторите подбор груза. Объясните, как изменился выигрыш в силе $MA = l_1/l_2$.
4. Задайте КПД 70 % (или включите трение, если доступно) и определите, какая сила нужна теперь, чтобы удержать равновесие; сравните затраченную и полезную работу.

Запишите результаты в таблицу: плечи, силы, моменты, $MA$, $\eta$. Сформулируйте вывод об обмене между силой и перемещением.

Показать, что вращающее действие силы определяется не только величиной силы, но и её плечом, и что равновесие рычага означает равенство моментов, а не равенство сил.

Схема: горизонтальная штанга рычага с треугольной опорой; слева от опоры — стрелка нагрузки $F_2$ на расстоянии $l_2$, справа — стрелка силы $F_1$ на расстоянии $l_1$; плечи отмечены штриховыми линиями и подписаны $l_1$, $l_2$; рядом круговые стрелки моментов $\tau_1 = F_1 l_1$ и $\tau_2 = F_2 l_2$ противоположного направления. Под схемой — график зависимости уравновешивающей силы $F_1$ от плеча $l_1$ при постоянных $F_2 l_2$: гипербола $F_1 = F_2 l_2 / l_1$, показывающая, что увеличение плеча уменьшает необходимую силу.

Рабочий везёт тачку с песком массой $50\ \text{кг}$. Центр тяжести груза лежит на расстоянии $0{,}40\ \text{м}$ от оси колеса, а руки держат рукоятки на расстоянии $1{,}20\ \text{м}$ от той же оси. Вес груза равен $mg = 50 \times 9{,}8 \approx 490\ \text{Н}$.

Работает условие равновесия рычага: сумма моментов относительно оси равна нулю, $F_1 d_1 = F_2 d_2$. Момент веса груза $490\ \text{Н} \times 0{,}40\ \text{м} = 196\ \text{Н·м}$ уравновешивается моментом силы рук $F \times 1{,}20\ \text{м}$, откуда $F \approx 163\ \text{Н}$ — выигрыш в силе ровно в $1{,}20/0{,}40 = 3$ раза.

Чтобы сорвать гайку колеса автомобиля, нужен момент силы $90\ \text{Н·м}$. Штатный баллонный ключ имеет плечо $0{,}30\ \text{м}$: чтобы получить такой момент, нужно надавить с силой $F = 90/0{,}30 = 300\ \text{Н}$. Если надеть на ключ трубу-удлинитель и увеличить плечо до $0{,}60\ \text{м}$, хватит силы $150\ \text{Н}$.

Это прямое применение определения момента силы $\tau = F d$, где $d$ — плечо, то есть расстояние по перпендикуляру от оси вращения до линии действия силы. Сила $300\ \text{Н}$ с плечом $0{,}30\ \text{м}$ и сила $150\ \text{Н}$ с плечом $0{,}60\ \text{м}$ дают один и тот же момент $90\ \text{Н·м}$, потому что важна не величина силы сама по себе, а её произведение на плечо.

Полиспаст в мастерской поднимает двигатель массой $120\ \text{кг}$ на высоту $2{,}0\ \text{м}$. Его вес $120 \times 9{,}8 = 1176\ \text{Н}$. К свободному концу троса рабочий прикладывает силу всего $300\ \text{Н}$, но вытягивает при этом $8{,}0\ \text{м}$ троса.

Система блоков даёт выигрыш в силе примерно в $1176/300 \approx 3{,}9$ раза, но ровно во столько же раз проигрывает в перемещении: $8{,}0/2{,}0 = 4$. Затраченная работа $300\ \text{Н} \times 8{,}0\ \text{м} = 2400\ \text{Дж}$ почти равна полезной $1176\ \text{Н} \times 2{,}0\ \text{м} = 2352\ \text{Дж}$; разница $48\ \text{Дж}$ ушла на трение в блоках, то есть КПД $\eta = 2352/2400 \approx 0{,}98$.