Значимые цифры в физических результатах: правила записи и округления

Значимые цифры — это цифры записи числа, которые несут информацию о точности измерения; отсчёт начинается с первой ненулевой цифры слева. Ведущие нули незначимы ($0.0045$ — две значимые цифры), внутренние нули значимы ($1.02$ — три), а конечные нули значимы только при наличии десятичной части ($2.30$ — три, но $2300$ без дополнительных указаний — две). В стандартном виде $a\times 10^{n}$, где $1\le a<10$, порядок $n$ не влияет на точность: значимыми считаются все цифры множителя $a$. При умножении и делении результат округляют до наименьшего числа значимых цифр среди исходных данных, а при сложении и вычитании — до наименьшего числа знаков после запятой. Промежуточные вычисления ведут с одной-двумя запасными цифрами и округляют только окончательный ответ, иначе накапливается ошибка округления. Правила значимых цифр дают быструю оценку точности; более строгий способ — указывать погрешность непосредственно, например $L=(12.35\pm 0.05)$ см.

Определите число значимых цифр в записях: (а) $0.004507$ м; (б) $2.30\times10^{4}$ кг; (в) $1500$ м (десятичная часть отсутствует, конечные нули не уточнены).

Найдите площадь прямоугольника со сторонами $a=12.35$ см и $b=4.2$ см и запишите ответ с правильным числом значимых цифр. Затем сложите $12.35$ см и $0.2$ см и округлите сумму по правилу сложения.

Плотность металла определяют так: масса $m=24.31$ г (четыре значимые цифры), объём — методом вытеснения, начальный уровень $V_{1}=50.0$ мл, конечный $V_{2}=58.5$ мл. Вычислите $\rho=m/(V_{2}-V_{1})$, корректно округлите результат и объясните, почему запись с лишними цифрами вводит в заблуждение.

Измерение и округление (безопасно, дома). Возьмите книгу и линейку с ценой деления $1$ мм. Три раза измерьте длину и ширину книги, каждый раз слегка сдвигая линейку, и запишите результаты с точностью до $0.1$ см. Для каждой пары измерений вычислите площадь, округлите её по правилам значимых цифр и сведите всё в таблицу: измерение, число значимых цифр, площадь до округления, площадь после округления. Затем ответьте письменно: сколько значимых цифр даёт каждое измерение и какое из них ограничивает точность площади. Если линейки или объекта под рукой нет, выполните тот же расчёт в интерактивной симуляции измерений (виртуальная линейка или штангенциркуль): это безопасно и не требует приборов. Не используйте открытое пламя, острые инструменты и электрические цепи под напряжением.

Показать, какие цифры в записи числа считаются значимыми, и напомнить, какое правило округления применяется при разных действиях.

Схема: запись $0.004507$ с подписями и стрелками — ведущие нули помечены как незначимые, цифры $4$, $5$, $0$, $7$ — как значимые. Рядом блок-схема с двумя ветвями: «умножение/деление $\rightarrow$ наименьшее число значимых цифр» и «сложение/вычитание $\rightarrow$ наименьшее число знаков после запятой», а под ней пример округления $51.87\rightarrow 52$ и $12.55\rightarrow 12.6$.

На школьных соревнованиях дистанцию измерили рулеткой: $s = 100{,}00\ \text{м}$. Электронный хронометр показал $t = 12{,}34\ \text{с}$. Калькулятор выдаёт $v = 100{,}00 / 12{,}34 = 8{,}103726\ldots\ \text{м/с}$. В протокол записывают $v = 8{,}10\ \text{м/с}$, хотя на экране калькулятора цифр намного больше.

Это правило деления: при умножении и делении результат сохраняет столько значимых цифр, сколько их у самого грубого из исходных данных. У времени $12{,}34\ \text{с}$ их четыре, у пути $100{,}00\ \text{м}$ — пять, значит, в ответе остаётся четыре: $8{,}104\ \text{м/с}$. Запись $8{,}1037\ \text{м/с}$ приписывала бы хронометру точность $0{,}0001\ \text{с}$, которой у него нет.

Цифровые кухонные весы имеют деление шкалы $0{,}001\ \text{кг}$. На них отвешивают муку для теста, и дисплей показывает $0{,}500\ \text{кг}$. Тот же результат, записанный как $0{,}5\ \text{кг}$, означает уже другие весы — с делением $0{,}1\ \text{кг}$, а запись $0{,}5000\ \text{кг}$ потребовала бы весов с делением $0{,}0001\ \text{кг}$.

Нули после запятой в конце числа значимы: запись $0{,}500\ \text{кг}$ утверждает, что масса лежит в интервале от $0{,}4995\ \text{кг}$ до $0{,}5005\ \text{кг}$, то есть содержит три значимые цифры. Так запись результата связывает число цифр с ценой деления прибора и с реальной погрешностью взвешивания.

Утром термометр на улице показывал $t_1 = -3{,}4\ \text{°C}$, днём — $t_2 = +5{,}2\ \text{°C}$. Нагревание за день равно $\Delta t = t_2 - t_1 = 5{,}2 - (-3{,}4) = 8{,}6\ \text{°C}$. Записать $8{,}60\ \text{°C}$ было бы неверно, хотя оба отсчёта содержат по две значимые цифры.

Это правило сложения и вычитания: результат сохраняет не число значимых цифр, а число десятичных знаков — наименьшее из слагаемых. У обоих отсчётов один знак после запятой, поэтому и у разности он один: $8{,}6\ \text{°C}$. Добавленный ноль в $8{,}60$ заявлял бы точность термометра $0{,}01\ \text{°C}$.