Модели атома Резерфорда и Бора

В опыте Резерфорда (1909–1911) $\alpha$-частицы, проходя через тонкую золотую фольгу, в редких случаях отклонялись на большие углы; это означает, что положительный заряд и почти вся масса атома сосредоточены в ядре размером около $10^{-14}$ м, тогда как сам атом имеет размер $\sim 10^{-10}$ м. Планетарная модель Резерфорда не могла объяснить устойчивость атома: электрон, движущийся с ускорением, должен непрерывно излучать, за $\sim 10^{-10}$ с упасть на ядро и дать сплошной спектр. Бор в 1913 г. постулировал существование стационарных орбит, на которых электрон не излучает, и квантование момента импульса $m v r = n\hbar$, где $n = 1, 2, 3, \dots$. Излучение и поглощение происходят только при переходе между стационарными состояниями, и энергия фотона равна разности энергий уровней: $h\nu = E_n - E_m$ — здесь работают уже известные вам соотношения $E = h\nu$ и $p = h/\lambda$. Для атома водорода постулаты Бора дают $r_n = n^2 a_0$ (где $a_0 = 0{,}0529$ нм) и $E_n = -13{,}6/n^2$ эВ, что точно воспроизводит наблюдаемые линии серий Лаймана, Бальмера и Пашена.

Найдите энергию и длину волны фотона, излучаемого атомом водорода при переходе с уровня $n = 3$ на уровень $n = 2$ (линия H$\alpha$ серии Бальмера).

Для атома водорода в основном состоянии ($n = 1$) вычислите радиус орбиты и скорость электрона, а затем проверьте постулат квантования, сравнив длину волны де Бройля электрона с длиной орбиты.

Атом водорода в основном состоянии поглощает фотон и переходит на уровень $n = 2$. Найдите длину волны поглощённого фотона, а затем оцените скорость отдачи атома, используя импульс фотона $p = h/\lambda$. Масса атома водорода $m_H = 1{,}67\cdot10^{-27}$ кг.

План самостоятельной работы на компьютере (безопасно, без источников излучения и вакуумных приборов).

1. Откройте симуляцию PhET «Models of the Hydrogen Atom» (режим «Experiment») или любую аналогичную интерактивную модель.
2. Выберите модель Резерфорда и обстреливайте атом фотонами разных длин волн: убедитесь, что поглощение возможно при любой длине волны, а спектр получается сплошным.
3. Переключитесь на модель Бора и повторите опыт: зафиксируйте, что атом поглощает фотон только при определённых длинах волн.
4. Перейдите в режим «Spectrum» и запишите 3–4 наблюдаемые линии серии Бальмера.
5. Проверьте их формулой Ридберга $\frac{1}{\lambda} = R_\infty\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right)$, $R_\infty = 1{,}097\cdot10^{7}$ м$^{-1}$, и оцените относительное расхождение с результатом симуляции.

Не работайте с настоящими газоразрядными трубками и УФ-лампами: наблюдение ультрафиолетовых линий и высокое напряжение опасны вне лаборатории, поэтому всё наблюдение ведётся в симуляции.

Показать, что дискретные уровни энергии объясняют линейчатый спектр и устойчивость атома, тогда как классическая орбита давала бы непрерывный спектр.

Схема из двух частей.

Слева: диаграмма энергетических уровней водорода — вертикальная ось энергии (эВ), горизонтальные линии на значениях $E_n = -13{,}6/n^2$ для $n = 1, 2, 3, 4, \infty$; вниз идут стрелки переходов с подписями $\lambda$ (линии серии Бальмера: $3\to2$, $4\to2$), над уровнем $n = \infty$ показан континуум (ионизация).

Справа: эскиз опыта Резерфорда — пучок $\alpha$-частиц, фольга и траектории: почти прямые линии, редкие траектории с большим углом отклонения; рядом врезка, где ядро ($10^{-14}$ м) и электронное облако ($10^{-10}$ м) нарисованы в масштабе.

В домашнем дымовом датчике есть крошечный источник америция-241, испускающий альфа-частицы с кинетической энергией около $5.5\,\text{MeV}$. В воздухе при нормальном давлении каждая альфа-частица проходит лишь около $4\,\text{cm}$ и создаёт порядка $1.6\times10^5$ пар ионов, прежде чем остановится. Размер атома примерно $10^{-10}\,\text{m}$, а ядра — всего около $10^{-15}\,\text{m}$.

Это картина рассеяния Резерфорда: альфа-частица — ядро гелия с зарядом $+2e$, поэтому она взаимодействует главным образом с крошечным положительным ядром. Поскольку атом в основном пуст, большинство альфа-частиц проходит почти прямо; редкое близкое приближение к ядру может отклонить частицу на большой угол. Именно наблюдаемое обратное рассеяние заставило принять ядерную модель.

Неоновая вывеска на спортивной арене имеет электроды с напряжением около $120\,\text{V}$ на трубке. Ускоренные этим напряжением электроны сталкиваются с атомами неона и могут перевести связанный электрон на более высокий боровский уровень с разностью энергий примерно $18.7\,\text{eV}$. Когда электрон возвращается назад, вывеска испускает красный свет с длиной волны около $640\,\text{nm}$, поэтому каждый испущенный фотон имеет энергию $E=hc/\lambda \approx 1.94\,\text{eV}$.

Здесь используется боровская часть модели: разрешены только дискретные орбиты с фиксированными энергиями, и фотон испускается, когда электрон переходит вниз на разность энергий $\Delta E = hf$. Резерфордовское ядро даёт центральный положительный заряд, удерживающий эти орбиты; возбуждение $18.7\,\text{eV}$ и фотон $1.94\,\text{eV}$ показывают, что цвет света задаётся расстоянием между уровнями, а не полной энергией атома.

Во время геомагнитной бури электроны солнечного ветра с энергиями в несколько $\text{keV}$ входят в атмосферу на высоте около $100\,\text{km}$ и сталкиваются с атомами кислорода. Возбуждённые атомы кислорода испускают зелёную линию $557.7\,\text{nm}$ и красную линию $630.0\,\text{nm}$. Соответствующие энергии фотонов равны $E=hc/\lambda \approx 2.22\,\text{eV}$ и $1.97\,\text{eV}$.

Полярное сияние проверяет квантованные уровни энергии Бора: столкновительное возбуждение переводит электрон кислорода на более высокий разрешённый уровень, а переход вниз испускает фотон, энергия которого равна разности уровней. Цвета дискретны, потому что разности уровней дискретны, точно как в модели Бора; резерфордовское ядерное строение атома даёт компактное ядро, вокруг которого расположены эти уровни.