Модели атома Резерфорда и Бора: от ядра до квантовых орбит

Опыт Резерфорда (1911). Альфа-частицы проходят через тонкую золотую фольгу: большинство отклоняются слабо, но некоторые — на углы больше $90^\circ$, что невозможно объяснить однородным распределением заряда по атому.

Отсюда вывод: положительный заряд и почти вся масса атома сосредоточены в очень малой области — ядре, радиус которого порядка $10^{-15}$ м, тогда как атом в целом имеет размер порядка $10^{-10}$ м.

Однако классическая электродинамика делает модель Резерфорда неустойчивой: электрон на орбите должен непрерывно излучать и за время порядка $10^{-10}$ с упасть на ядро, а спектр излучения был бы непрерывным — но наблюдается линейчатый спектр.

Постулаты Бора (1913). Существуют стационарные орбиты, на которых электрон не излучает, и момент импульса квантуется: $m v r = n\hbar$, где $n = 1, 2, 3, \ldots$ Излучение или поглощение происходит только при переходе между орбитами, и энергия фотона равна разности энергий: $h\nu = E_m - E_n$.

Для атома водорода это даёт $E_n = -13.6/n^2$ эВ и $r_n = n^2 a_0$, где $a_0 \approx 0.053$ нм — боровский радиус; модель объясняет серии Лаймана, Бальмера и Пашена и формулу Ридберга.

Для атома водорода найдите энергию (в эВ) и радиус орбиты электрона в состоянии $n = 3$. Используйте $E_n = -13.6/n^2$ эВ и $r_n = n^2 a_0$, где $a_0 = 0.053$ нм.

Электрон в атоме водорода переходит с уровня $n = 3$ на уровень $n = 2$ (линия H$\alpha$ серии Бальмера). Найдите энергию испущенного фотона в эВ и его длину волны в нм. Используйте $E_n = -13.6/n^2$ эВ и $hc = 1240$ эВ·нм.

Атом водорода возбуждён до уровня $n = 4$. Перечислите все возможные линии испускания, найдите самую длинную и самую короткую длины волн и отнесите каждую линию к серии Лаймана, Бальмера или Пашена.

Безопасный план самостоятельной работы в симуляции. Не работайте с настоящими газоразрядными трубками и высоким напряжением — используйте компьютерную модель.

1. Откройте симуляцию PhET «Models of the Hydrogen Atom» (раздел Physics → Quantum Phenomena) или аналогичную интерактивную модель уровней атома водорода.
2. Включите режим «Experiment» и обстреляйте атом водорода белым светом. Запишите, при каких длинах волн происходит поглощение.
3. Сравните модель «Rutherford» и модель «Bohr»: в первой спектр должен быть непрерывным, во второй — линейчатым. Занесите это в таблицу из двух столбцов.
4. Переключитесь в модель Бора и проследите переходы $n = 4 \to 2$, $n = 3 \to 2$, $n = 2 \to 1$. Перед каждым переходом предскажите цвет или область спектра по формуле $\lambda = 1240/\Delta E$ нм, затем проверьте предсказание.
5. Итог: сформулируйте двумя предложениями, почему линейчатый спектр служит прямым доказательством дискретных уровней энергии.

Показать вместе два ключевых факта темы: (1) как рассеяние альфа-частиц указывает на малое плотное ядро, и (2) как дискретные уровни энергии объясняют линейчатый спектр водорода.

Схема из двух панелей. Слева: пучок альфа-частиц падает на тонкую золотую фольгу; почти все частицы проходят прямо, лишь единицы частиц отклоняются на большие углы и назад — эти траектории помечены стрелками, рядом подпись «ядро, $r \sim 10^{-15}$ м» и «атом, $r \sim 10^{-10}$ м». Справа: энергетическая диаграмма атома водорода с горизонтальными уровнями $n=1,2,3,4$ и стрелками переходов; ниже — шкала длин волн с отмеченными линиями 122 нм, 486 нм, 656 нм и подписанными сериями Лаймана и Бальмера.

В ионизационном дымовом извещателе за металлической фольгой стоит источник америция-241 с активностью около $33\ \text{kBq}$. Каждый распад выбрасывает $\alpha$-частицу с кинетической энергией $5.49\ \text{MeV}$, то есть $8.8\times 10^{-13}\ \text{J}$. В воздухе на одну ион-электронную пару уходит около $34\ \text{eV}$, поэтому одна частица создаёт примерно $1.6\times 10^{5}$ пар ионов и тормозится на пути длиной всего $4\ \text{cm}$. Ионы дают слабый ток между электродами; дым поглощает $\alpha$-частицы, ток падает — и включается сирена.

Здесь работает ядерная модель Резерфорда: почти вся масса и весь положительный заряд собраны в ядре радиусом $\approx 7\times 10^{-15}\ \text{m}$, тогда как сам атом имеет радиус $\approx 1.4\times 10^{-10}\ \text{m}$. Поэтому $\alpha$-частица почти всё время летит через пустоту и теряет энергию лишь в частых слабых столкновениях с электронами (отсюда ровно $4\ \text{cm}$ пробега и $1.6\times 10^{5}$ пар ионов), а сильное отклонение возможно только при близком подлёте к ядру — именно это объясняет редкие обратные рассеяния в опыте с золотой фольгой.

В школьной газоразрядной трубке с водородом и в хромосфере Солнца во время полного затмения видна красная линия с длиной волны $656.3\ \text{nm}$ — линия H-$\alpha$. Каждый её фотон несёт энергию $E=hc/\lambda$; при $hc=1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}$ это даёт $1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}/656.3\ \text{nm}=1.89\ \text{eV}$.

Это переход в боровской модели атома водорода: электрон падает с уровня $n=3$ на уровень $n=2$, и энергия фотона равна разности энергий уровней $E_3-E_2 = 13.6\ \text{eV}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)=1.89\ \text{eV}.$ Дискретность орбит объясняет, почему линия одна и та же и имеет точную длину волны, а не размазана по всему спектру.

В стоматологическом рентгеновском аппарате электроны разгоняются напряжением $60\ \text{kV}$, значит каждый электрон приходит к вольфрамовой мишени с энергией $60\ \text{keV}$. Сплошной спектр обрывается на $\lambda_{min}=hc/(eU)=1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}/60000\ \text{eV}=0.021\ \text{nm}$, а поверх него стоит резкая линия вольфрама $0.0589\ \text{nm}$ с энергией фотона $1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}/0.0589\ \text{nm}=21.1\ \text{keV}$.

Резкая линия — это излучение при переходе электрона атома вольфрама на свободное место во внутренней боровской оболочке: энергия уровня фиксирована, поэтому фиксирована и длина волны. Сплошной фон (от $0.021\ \text{nm}$ и длиннее) даёт торможение быстрого электрона в кулоновском поле ядра — прямое следствие того, что заряд и масса атома собраны в ядре.