Радиус-вектор, перемещение, скорость и ускорение

Положение материальной точки в выбранной системе отсчёта задаёт радиус-вектор $\vec r(t)$, проведённый из начала координат к точке. В декартовых координатах он раскладывается по ортам осей:

$$\vec r = x\,\hat i + y\,\hat j + z\,\hat k.$$

Перемещение за интервал времени $\Delta t$ — это изменение радиус-вектора

$$\Delta \vec r = \vec r(t+\Delta t) - \vec r(t),$$

то есть вектор, направленный из начального положения в конечное; его модуль, вообще говоря, не равен длине пройденного пути $s$. Средняя скорость за интервал равна $\langle \vec v\rangle = \Delta \vec r/\Delta t$, а мгновенная скорость — производная радиус-вектора по времени:

$$\vec v = \frac{d\vec r}{dt},$$

и этот вектор направлен по касательной к траектории. Ускорение характеризует быстроту изменения скорости:

$$\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d^2\vec r}{dt^2},$$

причём $\vec a$ направлено в сторону изменения вектора скорости, а не обязательно вдоль самой траектории.

Радиус-вектор точки имеет вид $\vec r(t) = (3t)\,\hat i + (4t^2)\,\hat j$ (СИ). Найдите перемещение точки за интервал от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 2$ с и модуль этого перемещения.

Точка движется так, что её радиус-вектор $\vec r(t) = (2t^2)\,\hat i + (3t)\,\hat j$ (СИ). Найдите векторы скорости и ускорения в момент $t = 1$ с и их модули. Проверьте, направлена ли скорость по касательной к траектории.

Автомобиль проезжает четверть окружности радиуса $R = 20$ м с постоянной по модулю скоростью $v = 10$ м/с. В начальный момент он находится в точке $(20; 0)$ м и движется в направлении $+y$, а в конце — в точке $(0; 20)$ м. Найдите время движения, среднее ускорение $\vec a_{\text{ср}} = \Delta \vec v/\Delta t$ и сравните его модуль с мгновенным центростремительным ускорением $v^2/R$.

Самопроверка с помощью безопасной симуляции. Используйте модель двумерного движения с показом векторов (например, симуляцию «Projectile Motion» на PhET): наблюдение и измерение выполняются на экране, без бросков и реальных измерений.

1. Задайте начальную скорость под углом к горизонту, включите отображение векторов скорости и ускорения.
2. Останавливайте движение через равные интервалы $\Delta t$ и записывайте координаты $x$, $y$; из начала координат постройте радиус-векторы $\vec r_i$.
3. Соедините соседние положения отрезками: это перемещения $\Delta \vec r_i$. Разделив каждое на $\Delta t$, получите средние скорости на интервалах.
4. Проверьте два утверждения: при уменьшении $\Delta t$ векторы средней скорости приближаются по направлению к касательной к траектории; вектор ускорения остаётся постоянным по модулю и направлению и совпадает по направлению с изменением $\Delta \vec v$.

Запишите вывод в двух предложениях: совпало ли направление ускорения с направлением изменения скорости и как отличались модули перемещения и пути?

Показать геометрическую связь между радиус-вектором, перемещением, скоростью и ускорением на криволинейной траектории: перемещение — хорда между двумя радиус-векторами, скорость — касательная, а ускорение раскладывается на касательную и нормальную составляющие; нормальная составляющая направлена внутрь кривизны, касательная — вдоль скорости или против неё (при равномерном движении по окружности касательная составляющая равна нулю).

Схема (диаграмма). В плоскости $xy$ изображена криволинейная траектория точки. Отмечено начало координат $O$ и два близких положения точки: $A$ и $B$. Из $O$ проведены радиус-векторы $\vec r(t)$ в точку $A$ и $\vec r(t+\Delta t)$ в точку $B$. Отрезок из $A$ в $B$ обозначен как $\Delta \vec r$. В точке $A$ по касательной к траектории нарисован вектор $\vec v$, а рядом вектор $\vec a$, показанный как сумма касательной составляющей $\vec a_{\tau}$ (вдоль $\vec v$ или против неё) и нормальной составляющей $\vec a_n$, направленной внутрь изгиба траектории. Пунктиром показана дуга траектории между $A$ и $B$, длина которой равна пути $s$.

Велосипедист едет по круговому треку радиусом $R = 25$ м и проходит ровно половину круга за $t = 10$ с. Вдоль траектории он проезжает $�pi R \approx 78.5$ м, значит средняя путевая скорость равна $78.5/10 = 7.85$ м/с. GPS-приёмник на руле записывает координаты и в конце заезда вычитает начальные: старт и финиш находятся в диаметрально противоположных точках круга.

Работает определение средней скорости перемещения $\langle \vec v \rangle = \Delta \vec r / \Delta t$. За половину круга вектор перемещения $\Delta \vec r$ — это хорда-диаметр длиной $2R = 50$ м, направленная через центр, поэтому $|\langle \vec v \rangle| = 50/10 = 5.0$ м/с, а не $7.85$ м/с. Пример разделяет две величины: модуль вектора перемещения и длину пройденной траектории.

Автомобиль проезжает $3.0$ км на восток, затем $4.0$ км на север за $10$ мин ($600$ с). Навигатор раз в секунду сохраняет пару координат $(x, y)$. Разность координат даёт вектор перемещения $|\Delta \vec r| = \sqrt{(3.0)^2 + (4.0)^2} = 5.0$ км, направленный под углом $\arctan(4/3) \approx 53^\circ$ к востоку. Средняя скорость перемещения $5000/600 = 8.3$ м/с, средняя путевая скорость $7000/600 = 11.7$ м/с. Затем водитель тормозит от $15$ м/с до нуля за $5.0$ с.

Здесь работают и определение $\vec v = d\vec r/dt$, и определение $\vec a = d\vec v/dt$. Вычитание координат в навигаторе — это покомпонентный расчёт $\Delta \vec r$; при торможении вектор скорости убывает по модулю от $15$ м/с до $0$, значит $\vec a$ направлено противоположно $\vec v$ и равно $|\Delta v|/\Delta t = 15/5.0 = 3.0$ м/с². Ускорение меняет вектор скорости, а не только его модуль.

Кресло карусели движется по окружности радиусом $R = 8.0$ м; полный оборот занимает $T = 12$ с. Модуль скорости кресла постоянен и равен $v = 2\pi R/T = 2\pi \cdot 8.0/12 \approx 4.2$ м/с. Пассажир чувствует, что его вдавливает в спинку кресла.

Ускорение — это быстрота изменения именно вектора скорости: $\vec a = d\vec v/dt$. Даже при постоянном модуле $v$ направление $\vec v$ поворачивается, и вектор $\Delta \vec v$ за малый интервал направлен к центру окружности. Отсюда модуль ускорения $a = v^2/R = (4.2)^2/8.0 \approx 2.2$ м/с², и вектор $\vec a$ перпендикулярен $\vec v$.