Квантовые числа и принцип Паули

Квантованные энергетические уровни и линейчатые спектры показывают, что электрон в атоме может находиться только в дискретных состояниях. Каждое такое состояние задаётся набором квантовых чисел: главное $n=1,2,3,\dots$ определяет энергию и размер области движения, орбитальное $l=0,1,\dots,n-1$ — модуль орбитального момента, магнитное $m_l=-l,\dots,+l$ — его проекцию на выделенную ось, а спиновое $m_s=\pm\tfrac12$ — проекцию собственного момента электрона. Принцип Паули запрещает двум электронам в одном атоме иметь одинаковый полный набор $(n,l,m_l,m_s)$. Из этого запрета следуют ёмкости подоболочки $2(2l+1)$ и оболочки $2n^2$, а также правила заполнения электронных оболочек, которые проявляются в структуре периодической таблицы и в тонкой структуре спектральных линий.

Для электрона с главным квантовым числом $n=3$ перечислите все допустимые значения $l$, $m_l$ и $m_s$. Сколько различных одноэлектронных состояний существует при $n=3$?

Проверьте, разрешён ли набор $(n=2,\ l=2,\ m_l=0,\ m_s=+\tfrac12)$. Если нет, укажите, какое правило нарушено. Затем определите максимальное число электронов в подоболочке $3p$.

Гипотетическая конфигурация атома записана как $1s^3$. Используя квантовые числа и принцип Паули, объясните, почему такая конфигурация невозможна. Запишите правильную конфигурацию основного состояния лития ($Z=3$).

Используйте интерактивную симуляцию по квантовым числам (например, PhET «Quantum Numbers» или построитель электронных конфигураций).

• Составьте таблицу для $n=1,2,3$: перечислите допустимые $l$, $m_l$, $m_s$ и подсчитайте число состояний.
• Сравните полученное число состояний с $2n^2$ и объясните совпадение.
• Попробуйте разместить электроны в подоболочках, соблюдая принцип Паули, и отметьте, какие попытки симуляция отклоняет.
  Не проводите опытов с реальными радиоактивными или высоковольтными источниками; для наблюдения квантовых ограничений достаточно симуляции.

Показать, как квантовые числа образуют дискретные состояния и как принцип Паули ограничивает заполнение этих состояний электронами.

Схема: вертикальная шкала энергии с уровнями $n=1,2,3$; рядом — ячейки подоболочек, помеченные $(n,l)$; стрелки $\uparrow$ и $\downarrow$ обозначают $m_s=+\tfrac12$ и $m_s=-\tfrac12$; одна ячейка с двумя одинаковыми стрелками перечёркнута как запрещённая принципом Паули.

Ночная улица освещена жёлтыми фонарями. В трубке уличной лампы мощностью $150\ \text{Вт}$ горит разряд при токе около $1\ \text{А}$: атомы натрия светят почти одной длиной волны — $589.0\ \text{нм}$ и $589.6\ \text{нм}$, то есть фотонами с энергией $E=hc/\lambda=2.1\ \text{эВ}$.

Состояние внешнего электрона натрия описывают четыре квантовых числа: основное состояние — $n=3$, $l=0$, $m_l=0$; возбуждённое $3p$ — $n=3$, $l=1$, $m_l=-1,0,+1$. Принцип Паули разрешает в каждой орбитали не больше двух электронов с $m_s=+1/2$ и $m_s=-1/2$, поэтому три $p$-орбитали дают $3\times 2=6$ мест, а не три. Этот набор разрешённых состояний и определяет, какие переходы вообще возможны: переход $3p\to 3s$ разрешён и даёт яркую жёлтую линию.

Шарик объёмом $0.03\ \text{м}^3$ наполняют гелием. Плотность гелия $0.17\ \text{кг/м}^3$, воздуха — $1.2\ \text{кг/м}^3$, поэтому подъёмная сила равна $(1.2-0.17)\cdot 0.03\cdot 9.8\approx 0.30\ \text{Н}$ и шарик удерживает гирлянду массой около $30\ \text{г}$. Чтобы получить жидкий гелий, газ приходится охлаждать до $4.2\ \text{К}$.

У гелия два электрона, и оба занимают $1s$-орбиталь ($n=1$, $l=0$, $m_l=0$) с противоположными спинами $m_s=+1/2$ и $m_s=-1/2$. Принцип Паули запрещает третьему электрону занять уровень $n=1$, значит оболочка $1s^2$ замкнута и гелий не образует химических связей — при $293\ \text{К}$ он остаётся одноатомным газом. Притяжение между замкнутыми оболочками настолько слабое, что при атмосферном давлении атомы удерживаются вместе только ниже $4.2\ \text{К}$.

На кухне магнит с силой отрыва $5\ \text{Н}$ держится на стальной дверце холодильника и сразу соскальзывает с алюминиевой банки напитка. В железе $26$ электронов, его внешняя конфигурация $3d^6 4s^2$; в алюминии $13$ электронов и конфигурация $3s^2 3p^1$. Оба металла твёрдые, но с магнитом ведут себя по-разному.

Для $l=2$ ($d$-подуровень) магнитное квантовое число принимает пять значений $m_l=-2,-1,0,+1,+2$, и принцип Паули разрешает по два электрона ($m_s=\pm 1/2$) на каждое — всего $10$ мест в $3d$. У железа первые пять из шести $3d$-электронов занимают все пять орбиталей поодиночке с параллельными спинами, и четыре остаются неспаренными: их магнитные моменты складываются, и металл намагничивается. У алюминия единственный $3p$-электрон уходит в общий электронный газ металла и его спин оказывается спаренным, поэтому собственный магнитный момент почти нулевой и магнит не держится.