Движение тела, брошенного в однородном поле тяжести

Движение тела, брошенного в однородном поле тяжести, — это движение с начальной скоростью $\vec v_0$, при котором единственное ускорение — это $\vec g$, направленное вертикально вниз. Если ось $x$ направить горизонтально, а ось $y$ — вертикально вверх, то компоненты ускорения равны $a_x = 0$ и $a_y = -g$, поэтому движение распадается на два независимых одномерных движения. Так как $\vec v = \vec v_0 + \vec g t$ и $\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{1}{2}\vec g t^2$, горизонтальная скорость $v_x = v_0\cos\alpha$ остаётся постоянной, а вертикальная скорость $v_y = v_0\sin\alpha - gt$ меняется равномерно. Соответствующие координаты равны $x = x_0 + v_0\cos\alpha\, t$ и $y = y_0 + v_0\sin\alpha\, t - \frac{1}{2}gt^2$. Исключая $t$, получаем уравнение траектории $y = y_0 + (x-x_0)\tan\alpha - \frac{g(x-x_0)^2}{2v_0^2\cos^2\alpha},$ то есть параболу.

Мяч бросают с поверхности земли со скоростью $v_0 = 20\ \text{м/с}$ под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Приняв $g = 10\ \text{м/с}^2$ и пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите время полёта и дальность.

Снаряд запускают со скоростью $v_0 = 15\ \text{м/с}$ под углом $\alpha = 40^\circ$ к горизонту с обрыва высотой $h = 20\ \text{м}$. Считая $g = 9.8\ \text{м/с}^2$, найдите время до падения на землю и горизонтальное расстояние от точки старта.

Тело бросают с ровной горизонтальной поверхности с постоянной по модулю начальной скоростью $v_0$. (а) Получите формулу для дальности $R(\alpha)$ и покажите, что дальность максимальна при $\alpha = 45^\circ$. (б) Найдите два угла бросания, при которых дальность равна $0.8R_{\max}$.

Работайте с симуляцией движения снаряда (например, «Движение снаряда» PhET); не проводите измерения с реальными метательными предметами. Установите $v_0 = 20\ \text{м/с}$ и высоту старта $0$. Меняя угол от $15^\circ$ до $75^\circ$ с шагом $10^\circ$, записывайте дальность в таблицу. Постройте график $R(\alpha)$ и отметьте максимум. Проверьте, что углы, дополняющие друг друга до $90^\circ$ (например, $30^\circ$ и $60^\circ$), дают одинаковую дальность. Сравните данные с формулой $R = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$, затем включите сопротивление воздуха и опишите, какие выводы перестают выполняться.

Показать, что движение брошенного тела есть наложение равномерного горизонтального движения и равноускоренного вертикального движения, и что это наложение даёт параболическую траекторию.

Схема параболической траектории на осях $x$–$y$: вектор начальной скорости $\vec v_0$ и его компоненты $v_{0x}$, $v_{0y}$; векторы скорости в нескольких точках траектории, у которых горизонтальная компонента неизменна, а вертикальная сначала уменьшается, обращается в нуль в вершине и затем меняет знак; вертикальные штриховые линии через равные интервалы времени и вертикальные «шаги», растущие как $t^2$.

На линии штрафного броска игрок выпускает мяч с высоты $2.0\ \text{м}$ со скоростью $v_0=7.5\ \text{м/с}$ под углом $\theta=50^\circ$ к горизонту. Кольцо находится в $4.6\ \text{м}$ по горизонтали и на высоте $3.05\ \text{м}$. Горизонтальная скорость $v_x=v_0\cos\theta=4.82\ \text{м/с}$, поэтому мяч достигает горизонтального положения кольца через $t=x/v_x=0.954\ \text{с}$. Его высота тогда $y=2.0+v_0\sin\theta\,t-\frac12 g t^2=3.02\ \text{м}$, чуть ниже дужки.

Пример использует независимость горизонтального и вертикального движений: $x(t)=v_x t$ при постоянной $v_x$ даёт время, а $y(t)=y_0+v_{0y}t-\frac12 g t^2$ при $a_y=-g$ даёт высоту. Траектория — парабола, получаемая объединением этих двух уравнений.

Трюковой автомобиль покидает горизонтальный трамплин со скоростью $v_0=20\ \text{м/с}$ с высоты $h=5.0\ \text{м}$ над площадкой приземления. Начальная вертикальная скорость равна нулю, поэтому время падения $t=\sqrt{2h/g}=1.01\ \text{с}$. За это время он пролетает по горизонтали $x=v_0t=20.2\ \text{м}$. Вертикальная скорость при приземлении $v_y=gt=9.9\ \text{м/с}$, значит полная скорость равна $\sqrt{v_0^2+v_y^2}=22.3\ \text{м/с}$.

Этот пример разбирает движение тела, брошенного горизонтально: $v_{0y}=0$, но $a_y=-g$ всё равно действует. Горизонтальное перемещение получается из постоянной $v_x$, а вертикальная скорость — из равноускоренного движения; конечная скорость есть векторная сумма.

Идя со скоростью $1.4\ \text{м/с}$, ученик случайно выпускает телефон с высоты $1.5\ \text{м}$. Телефон начинает движение с горизонтальной скоростью $1.4\ \text{м/с}$. Он падает $t=\sqrt{2h/g}=0.553\ \text{с}$, приземляется на $x=1.4t=0.77\ \text{м}$ впереди точки выпуска и имеет вертикальную скорость удара $v_y=gt=5.42\ \text{м/с}$.

Телефон движется как тело, брошенное под действием силы тяжести, потому что после выпуска значима только гравитация. Горизонтальная составляющая $v_x=1.4\ \text{м/с}$ остаётся постоянной, а вертикальная растёт как $v_y=gt$, что и предсказывают уравнения для компонент.