Потенциал, напряжение и эквипотенциальные поверхности

Потенциал $V$ в точке — это потенциальная энергия единичного положительного заряда, помещённого в эту точку: $V = U/q$, измеряется в вольтах ($1\ \text{В} = 1\ \text{Дж/Кл}$). Для точечного заряда $q$ на расстоянии $r$ имеем $V = k\dfrac{q}{r}$, где $k \approx 8{,}99\times10^{9}\ \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2$; в отличие от напряжённости, потенциал — скаляр, поэтому вклады нескольких зарядов просто складываются: $V = \sum_i k q_i/r_i$.

Физически измерима разность потенциалов, или напряжение, $V_A - V_B$: при переносе заряда $q$ из A в B электрическое поле совершает работу $W_{\text{поля}} = q(V_A - V_B)$.

Эквипотенциальная поверхность соединяет точки с одинаковым потенциалом, поэтому перенос заряда вдоль неё не требует работы. Силовые линии всюду перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону убывания потенциала, а модуль напряжённости равен падению потенциала на единицу длины: $E = -\Delta V/\Delta r$ при малом $\Delta r$. Поэтому силовые линии и эквипотенциали образуют взаимно перпендикулярную сетку.

Точечный заряд $q = +2{,}0\ \text{мкКл}$ находится в вакууме. Найдите потенциал в точках на расстояниях $r_1 = 0{,}30\ \text{м}$ и $r_2 = 0{,}60\ \text{м}$ от заряда и напряжение между этими точками.

Заряды $q_1 = +4{,}0\ \text{мкКл}$ в точке $x = 0$ и $q_2 = -4{,}0\ \text{мкКл}$ в точке $x = 0{,}80\ \text{м}$ закреплены на оси $x$. (а) Найдите потенциал в точке $x = 0{,}20\ \text{м}$. (б) Какую работу совершит поле при переносе заряда $q_3 = +1{,}0\ \text{нКл}$ из точки $x = 0{,}20\ \text{м}$ в точку $x = 0{,}40\ \text{м}$?

Вдоль оси $x$ потенциал задан выражением $V(x) = (120\ \text{В/м}^2)x^2 - 40\ \text{В}$. (а) Найдите проекцию напряжённости $E_x$ в точке $x = 0{,}50\ \text{м}$. (б) Опишите эквипотенциальные поверхности. (в) Найдите работу поля при переносе заряда $q = +2{,}0\ \text{нКл}$ из $x = 0{,}10\ \text{м}$ в $x = 0{,}50\ \text{м}$.

Работайте в симуляции PhET Charges and Fields (безопасно: нет реальных цепей и напряжений). (1) Поместите один заряд $+1\ \text{нКл}$ и измерьте вольтметром потенциал в точках $0{,}5\ \text{м}$, $1{,}0\ \text{м}$ и $1{,}5\ \text{м}$; проверьте по графику, что значения следуют закону $V = kq/r$. (2) Добавьте заряд $-1\ \text{нКл}$, включите отображение эквипотенциалей (или отметьте вольтметром 8–10 точек с одинаковым показанием) и зарисуйте контур эквипотенциали; убедитесь, что она пересекает силовые линии под прямым углом. (3) Выберите точки A и B, запишите $V_A$ и $V_B$, перенесите пробный заряд $+1\ \text{нКл}$ из A в B и сравните работу, предсказанную формулой $W = q(V_A - V_B)$, с работой, которую показывает симуляция.

Показать, как выглядят эквипотенциальные поверхности для одиночного заряда и для диполя и как они связаны с силовыми линиями и знаком заряда.

Схема из двух панелей. Слева: точечный заряд $+q$, вокруг него штриховые концентрические окружности (эквипотенциали с подписями $V_1 > V_2 > V_3$) и радиальные стрелки силовых линий, направленные наружу. Справа: диполь $+q$ и $-q$ с сеткой сплошных силовых линий и штриховых эквипотенциальных кривых, пересекающихся под прямым углом; подписи $V>0$ вблизи $+q$ и $V<0$ вблизи $-q$, а также выделенная стрелка $\vec{E}$, показывающая направление убывания потенциала, и подпись $E = -\Delta V/\Delta r$.

Аккумулятор телефона хранит $4000\ \mathrm{mA\cdot h}=4.0\ \mathrm{A\cdot h}=1.44\times10^{4}\ \mathrm{C}$ и отдаёт этот заряд при напряжении около $3.85\ \mathrm{V}$. Блок питания с маркировкой $5\ \mathrm{V}$, $2\ \mathrm{A}$ передаёт мощность $10\ \mathrm{W}$. Полная зарядка переносит $1.44\times10^{4}\ \mathrm{C}$ через разность потенциалов $3.85\ \mathrm{V}$, то есть запасает $W=qU\approx5.5\times10^{4}\ \mathrm{J}$; при мощности $10\ \mathrm{W}$ это чуть больше $1.5$ часа.

Здесь напряжение — это энергия на единицу заряда: $U=W/q$, поэтому каждый кулон, прошедший через аккумулятор, получает $3.85\ \mathrm{J}$. Два вывода батареи лежат на двух разных эквипотенциальных поверхностях поля цепи: чтобы провести заряд вдоль поверхности вывода, работа не нужна, а энергия тратится только при переходе между этими поверхностями.

В грозу основание облака может иметь потенциал около $1\times10^{8}\ \mathrm{V}$ относительно земли, а один разряд переносит примерно $20\ \mathrm{C}$. Поле совершает работу $W=qU=20\times10^{8}=2\times10^{9}\ \mathrm{J}=2\ \mathrm{GJ}$. Поскольку сухой воздух пробивается при поле около $3\times10^{6}\ \mathrm{V/m}$, для разности $10^{8}\ \mathrm{V}$ нужен промежуток $d=U/E\approx33\ \mathrm{m}$; разряд длится около $100\ \mathrm{\mu s}$, то есть пиковая мощность порядка $2\times10^{13}\ \mathrm{W}$.

Среднее поле между облаком и землёй равно $E=U/d$ — это отношение измеренной между двумя точками разности потенциалов к расстоянию. Основание облака и поверхность земли здесь играют роль двух эквипотенциальных поверхностей, а лидер разряда идёт по силовым линиям, которые пересекают каждую эквипотенциальную поверхность под прямым углом.

Тяговая батарея работает при $400\ \mathrm{V}$ и подаёт в мотор $100\ \mathrm{A}$, то есть $40\ \mathrm{kW}$. Батарея ёмкостью $60\ \mathrm{kW\cdot h}=2.16\times10^{8}\ \mathrm{J}$ переносит за разряд $q=W/U=2.16\times10^{8}/400=5.4\times10^{5}\ \mathrm{C}$ с одного вывода на другой; при токе $100\ \mathrm{A}$ это занимает $5.4\times10^{3}\ \mathrm{s}\approx1.5\ \mathrm{h}$. В медных кабелях потенциал падает примерно на $0.5\ \mathrm{V}$ на каждый метр, то есть поле внутри меди около $0.5\ \mathrm{V/m}$.

Соотношение $U=W/q$ задаёт энергию, которую несёт каждый кулон, а $E=-\Delta V/\Delta x$ связывает падение потенциала вдоль кабеля с полем внутри меди. Два вывода батареи — эквипотенциальные поверхности с разностью $400\ \mathrm{V}$, и работа переноса заряда между ними зависит только от этой разности, но не от пути по цепи.