Законы фотоэффекта и уравнение Эйнштейна

Законы фотоэффекта (Столетов): 1) сила фототока насыщения пропорциональна интенсивности света при неизменной частоте; 2) у каждого вещества есть красная граница $\nu_0$ — при $\nu<\nu_0$ фотоэффекта нет, как бы велика ни была интенсивность; 3) эмиссия начинается практически мгновенно ($t\approx10^{-9}$ с).

Волновая теория не объясняет второй и третий законы, а фотонная модель объясняет все три: свет — поток фотонов с энергией $h\nu$, и один фотон взаимодействует с одним электроном (энергия и импульс фотона: $E=h\nu$, $p=h/\lambda=h\nu/c$). Закон сохранения энергии даёт уравнение Эйнштейна

$$h\nu = A_{\text{out}} + K_{\max},$$

где $A_{\text{out}}$ — работа выхода, а $K_{\max}$ — максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона. Задерживающее напряжение $U_{s}$, при котором ток прекращается, измеряет эту энергию: $K_{\max}=eU_{s}$, поэтому

$$U_{s} = \frac{h}{e}\nu - \frac{A_{\text{out}}}{e}.$$

График $U_{s}(\nu)$ — прямая с угловым коэффициентом $h/e$, пересекающая ось частот в точке $\nu_0=A_{\text{out}}/h$.

Металл с работой выхода $A_{\text{out}}=2.2\ \text{eV}$ освещают светом с длиной волны $\lambda=400\ \text{nm}$. Найдите максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов и задерживающее напряжение.

Красная граница фотоэффекта для металла равна $\lambda_0=600\ \text{nm}$. Металл освещают светом $\lambda=400\ \text{nm}$. Найдите работу выхода, задерживающее напряжение и максимальную скорость фотоэлектронов ($m_e=9.11\times10^{-31}\ \text{kg}$).

Лазер мощностью $P=2.0\ \text{mW}$ посылает свет $\lambda=500\ \text{nm}$ на катод с работой выхода $A_{\text{out}}=1.5\ \text{eV}$. (а) Сколько фотонов падает на катод за секунду? (б) Как изменятся ток насыщения и задерживающее напряжение, если мощность лазера увеличить вдвое при той же длине волны?

Симуляция вместо опасного эксперимента. Не используйте реальные ультрафиолетовые лампы: работайте в симуляции PhET «Фотоэффект» (или аналогичной).

1. Выберите металл (например, натрий) и запишите его работу выхода.
2. Установите длину волны $\lambda=400\ \text{nm}$ и умеренную интенсивность. Плавно увеличивайте задерживающее напряжение, пока фототок не станет равным нулю; запишите $U_{s}$.
3. Повторите для 5–6 длин волн (например, 350, 400, 450, 500, 550, 600 нм).
4. Постройте график $U_{s}$ от $\nu=c/\lambda$ и проведите прямую. Наклон даёт $h/e$ — оцените $h$; точка пересечения с осью $\nu$ даёт красную границу $\nu_0$.
5. Меняя только интенсивность, убедитесь, что ток насыщения растёт пропорционально интенсивности, а $U_{s}$ не меняется.
6. Опустите частоту ниже $\nu_0$ и убедитесь, что ток равен нулю при любой интенсивности.

Показать, что задерживающее напряжение линейно зависит от частоты, и связать наклон и точку пересечения прямой с постоянной Планка и работой выхода.

График: по горизонтальной оси — частота $\nu$, по вертикальной — задерживающее напряжение $U_{s}$. Экспериментальные точки ложатся на прямую $U_{s}=\frac{h}{e}\nu-\frac{A_{\text{out}}}{e}.$ На графике отмечены: наклон $h/e$, точка пересечения с осью частот $\nu_0=A_{\text{out}}/h$ (красная граница) и отрицательный отрезок на оси $U_{s}$, равный $-A_{\text{out}}/e$. Для разных металлов прямые параллельны и сдвинуты вертикально на разность работ выхода, делённую на $e$.

На школьных соревнованиях на 100 м луч синего света с длиной волны $\lambda = 450\ \text{nm}$ падает на цезиевый фотокатод с работой выхода $W = 2.14\ \text{eV}$. Световой поток создаёт фототок; когда бегун перекрывает луч, ток падает, и таймер фиксирует время. Максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов $E_{k\max}=h\nu - W=\frac{hc}{\lambda}-W \approx 2.76-2.14=0.62\ \text{eV}$, а задерживающее напряжение $U_s=E_{k\max}/e \approx 0.62\ \text{V}$.

Сценарий упражняет первый закон фотоэффекта: сила фототока пропорциональна числу фотонов в секунду, то есть интенсивности света. Уравнение Эйнштейна $h\nu = W + E_{k\max}$ показывает, что максимальная кинетическая энергия и задерживающее напряжение определяются частотой света и работой выхода, а не яркостью луча.

Экран смартфона автоматически меняет яркость по сигналу кремниевого фотодиода. Зелёный свет от окна имеет $\lambda = 550\ \text{nm}$, энергия фотона $E=\frac{1240}{550}\approx 2.25\ \text{eV}$. Для кремния пороговая энергия около $W=1.12\ \text{eV}$, поэтому максимальная энергия фотоэлектрона $E_{k\max}\approx 1.13\ \text{eV}$, а красная граница $\lambda_{\max}=\frac{hc}{W}\approx 1107\ \text{nm}$. При удвоении яркости окна фототок удваивается, но $E_{k\max}$ не меняется.

Сценарий проверяет красную границу фотоэффекта и независимость $E_{k\max}$ от интенсивности. Если длина волны превышает $\lambda_{\max}$, отдельный фотон не может вырвать электрон, и датчик не реагирует. Уравнение Эйнштейна даёт $E_{k\max}=h\nu-W$ для каждого поглощённого фотона.

Смеситель на кухне включается, когда рука отражает инфракрасный луч с $\lambda=940\ \text{nm}$ обратно на фотоприёмник. Энергия фотона $E=\frac{1240}{940}\approx 1.32\ \text{eV}$. Для кремниевого приёмника с $W=1.12\ \text{eV}$ максимальная кинетическая энергия $E_{k\max}=1.32-1.12=0.20\ \text{eV}$, задерживающее напряжение $U_s=0.20\ \text{V}$. Более яркий инфракрасный свет лишь увеличивает число электронов, но не их максимальную энергию.

Сценарий показывает безынерционность фотоэффекта: ток появляется сразу при освещении, а его величина пропорциональна интенсивности. Пороговая частота $\nu_{\min}=W/h$ объясняет, почему приёмник выбирают под нужную длину волны, а уравнение Эйнштейна связывает энергию фотона с работой выхода и кинетической энергией электрона.