Период, частота, амплитуда и фаза колебаний

Гармоническое колебание повторяется во времени. Его период $T$ — длительность одного полного цикла, а частота $f$ — число циклов в секунду, поэтому $T=\frac{1}{f}$ и $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$.
Амплитуда $A$ — максимальное смещение от положения равновесия, задающее масштаб движения; для пружинного маятника смещение можно записать в виде $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$.
Фаза $\omega t+\varphi$ определяет состояние осциллятора в данный момент, а начальная фаза $\varphi$ задаёт, в какой точке цикла начинается движение при $t=0$.
Так как возвращающая сила консервативна, полная механическая энергия $E=K+U$ постоянна, и для идеальной пружины $E=\frac{1}{2}kA^2$; кинетическая и потенциальная энергии обмениваются два раза за период.
Поэтому изменение $A$ меняет запасённую энергию, а $T$ и $f$ для идеальной системы груз–пружина определяются $m$ и $k$ через $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Дано уравнение колебаний $x(t)=0.10\cos\!\left(4\pi t+\frac{\pi}{3}\right)$ (в метрах). Найдите амплитуду $A$, циклическую частоту $\omega$, частоту $f$, период $T$, начальную фазу $\varphi$ и смещение при $t=0$.

Груз массой $m=0.50$ кг прикреплён к пружине жёсткостью $k=8.0$ Н/м. Амплитуда колебаний $A=0.12$ м. Найдите период $T$, частоту $f$, полную механическую энергию $E$ и максимальную скорость груза $v_{\max}$.

Пружинный маятник имеет $m=0.20$ кг и $k=20$ Н/м. Полная механическая энергия колебаний $E=0.10$ Дж. В момент $t=0$ смещение $x=0.05$ м, и груз движется к положению равновесия. Найдите амплитуду $A$, циклическую частоту $\omega$, период $T$, частоту $f$, начальную фазу $\varphi$ и запишите уравнение $x(t)$.

Используйте безопасную симуляцию, например PhET Masses and Springs или Pendulum Lab.

1. Установите жёсткость пружины $k=10$ Н/м и массу $m=0.50$ кг.
2. Для амплитуд $A=0.02$ м, $0.04$ м и $0.08$ м измерьте период $T$ и запишите, меняется ли $T$ при изменении $A$.
3. Вычислите $f=1/T$ и сравните с $\omega/(2\pi)$, используя $\omega=\sqrt{k/m}$.
4. Добавьте второй такой же осциллятор и запустите один из максимального смещения, а другой — из положения равновесия с положительной скоростью. Зарисуйте графики смещения от времени для обоих и определите разность фаз.
   Опасности нет; используйте симуляцию, а не опасные установки.

Показать, как амплитуда, период, частота и фаза отображаются на графике смещения от времени и как сдвиг фазы проявляется как горизонтальный сдвиг между двумя кривыми.

График смещения от времени с двумя синусоидальными кривыми $x_1(t)=A\cos(\omega t)$ и $x_2(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$. Отметьте $A$ как вертикальный максимум, $T$ как время между соседними пиками, а сдвиг фазы $\varphi$ покажите как горизонтальный сдвиг. Добавьте простой рисунок пружинного маятника при максимальном смещении, чтобы показать амплитуду.

Гимнаст на батуте повторяет полный цикл вверх-вниз каждые $0.60\ \mathrm{s}$. Центр масс движется от $0.35\ \mathrm{m}$ выше положения равновесия до $0.35\ \mathrm{m}$ ниже него, поэтому амплитуда $A=0.35\ \mathrm{m}$. Частота $f=1/T=1/(0.60\ \mathrm{s})=1.67\ \mathrm{Hz}$. Второй гимнаст прыгает с той же амплитудой, но отстаёт на полцикла: разность фаз $\Delta\phi=\pi\ \mathrm{rad}$; когда первый в верхней точке, второй в нижней.

Здесь работают связь периода и частоты $T=1/f$, амплитуда как максимальное смещение от равновесия и разность фаз: задержка на половину периода даёт $\Delta\phi=\pi\ \mathrm{rad}$.

Моторчик вибрации смартфона вращается со скоростью $12000\ \mathrm{rpm}=200\ \mathrm{Hz}$, поэтому период $T=1/(200\ \mathrm{Hz})=5.0\ \mathrm{ms}$. Амплитуда смещения маленькой массы равна $A=0.03\ \mathrm{mm}$. Наушник воспроизводит ноту $440\ \mathrm{Hz}$; период $T=1/(440\ \mathrm{Hz})=2.27\ \mathrm{ms}$, амплитуда диффузора $A=0.10\ \mathrm{mm}$. Если левый сигнал задержан на $1.14\ \mathrm{ms}$ (примерно половина периода), разность фаз $\Delta\phi=2\pi\Delta t/T\approx\pi\ \mathrm{rad}$, и на этой частоте звук в ухе ослабляется.

Используются частота как число циклов в секунду, период $T=1/f$, амплитуда как максимальное смещение и фазовый сдвиг $\Delta\phi=2\pi\Delta t/T$ для сравнения двух колебаний.

Автомобиль массой $1200\ \mathrm{kg}$ проезжает «лежачего полицейского». Кузов колеблется с частотой $f=1.25\ \mathrm{Hz}$, значит $T=1/f=0.80\ \mathrm{s}$. Начальная амплитуда вертикальных колебаний $A_0=0.08\ \mathrm{m}$, а через два цикла она уменьшается до $A=0.02\ \mathrm{m}$ из-за амортизаторов. Передние колёса проходят неровность на $0.25\ \mathrm{s}$ раньше задних; если $T=0.80\ \mathrm{s}$, запаздывание задней части по фазе равно $\Delta\phi=2\pi(0.25/0.80)=1.96\ \mathrm{rad}\approx112^\circ$.

Здесь амплитуда задаёт максимальное смещение и запас механической энергии, период и частота — временной масштаб колебаний, а фаза — запаздывание между колебаниями передней и задней частей кузова.