Закон Ома для полной цепи

Реальный источник тока обладает внутренним сопротивлением $r$, поэтому ток в замкнутой цепи зависит и от внешнего сопротивления $R$, и от самого источника. Носители заряда идут последовательно через внутреннюю часть источника и через внешний участок, так что полное сопротивление цепи равно $R + r$. Электродвижущая сила $\varepsilon$ равна работе сторонних сил по переносу единичного заряда по всей замкнутой цепи, поэтому

$$I = \frac{\varepsilon}{R + r}.$$

Напряжение на зажимах источника (то же, что напряжение на внешнем участке) равно

$$U = IR = \varepsilon - Ir,$$

то есть меньше ЭДС и убывает с ростом тока. Формула для внешнего участка $U = IR$ остаётся в силе, а «недостающая» часть ЭДС $Ir$ тратится внутри источника. При $R \to 0$ ток ограничен только внутренним сопротивлением: $I_{кз} = \varepsilon / r$ — это ток короткого замыкания.

Гальванический элемент с ЭДС $\varepsilon = 12$ В и внутренним сопротивлением $r = 0.5\ \Omega$ замкнут на внешний резистор $R = 5.5\ \Omega$. Найдите силу тока в цепи и напряжение на зажимах источника.

На разомкнутых зажимах батареи вольтметр показывает $4.5$ В. Когда батарею подключают к резистору $R = 8\ \Omega$, вольтметр на её зажимах показывает $4.0$ В. Найдите силу тока в цепи и внутреннее сопротивление батареи.

Батарея с ЭДС $\varepsilon = 6.0$ В и внутренним сопротивлением $r = 0.40\ \Omega$ питает переменный внешний резистор $R$. (а) Выразите мощность, выделяющуюся во внешнем резисторе, как функцию $R$. (б) Найдите значение $R$, при котором эта мощность максимальна, и вычислите её максимум. Какова при этом доля полезной мощности?

Самопроверка с помощью симуляции (безопасно, короткое замыкание моделируется, а не создаётся).

1. Откройте симуляцию электрической цепи (например, «Circuit Construction Kit: DC — Virtual Lab»). Соберите цепь: батарея — амперметр — переменный резистор $R$ — обратно к батарее; вольтметр подключите параллельно зажимам батареи.
2. В настройках батареи задайте ЭДС $\varepsilon = 9.0$ В и внутреннее сопротивление $r = 1.5\ \Omega$.
3. Меняйте $R$: 0.5; 1.5; 3.0; 6.0; 15 $\Omega$. Для каждого значения записывайте ток $I$ и напряжение на зажимах $U$ в таблицу.
4. Постройте график $U(I)$ и убедитесь, что точки ложатся на прямую $U = \varepsilon - Ir$; найдите $\varepsilon$ как отрезок на оси $U$ и $r$ как модуль наклона. Сравните с заданными значениями.
5. Проверьте предсказание: при каком $R$ ток равен половине тока короткого замыкания $I_{кз} = \varepsilon / r$? Установите это значение $R$ и сравните измерение с расчётом.
6. Оцените на графике точку, где полезная мощность $P = UI$ максимальна, и сопоставьте её с условием $R = r$.

Не воспроизводите короткое замыкание на реальных батареях: они могут нагреваться и протекать. Все опасные режимы проверяйте только в симуляции.

Показать, что реальный источник состоит из идеального источника ЭДС $\varepsilon$ и последовательного внутреннего сопротивления $r$, и что напряжение на зажимах падает линейно с ростом тока.

Схема и график. Слева — схема замкнутой цепи: пунктирный прямоугольник «источник» содержит идеальный источник с ЭДС $\varepsilon$ и последовательно включённое сопротивление $r$; к его зажимам подключён внешний резистор $R$ с амперметром $A$, а параллельно зажимам — вольтметр $V$. Стрелкой показано направление тока $I$ от «+» к «−» во внешней части. Справа — график $U(I)$: прямая линия, пересекающая ось $U$ в точке $\varepsilon$ и ось $I$ в точке $I_{кз} = \varepsilon / r$; наклон прямой равен $-r$, а две заштрихованные области показывают полезную мощность $UI$ на внешнем участке и потери $I^2 r$ внутри источника.

Повербанк при разряде даёт ЭДС $\varepsilon = 5{,}0$ В и имеет внутреннее сопротивление $r = 0{,}10$ Ом. Телефон в режиме быстрой зарядки потребляет ток $I = 2{,}0$ А, то есть ведёт себя как нагрузка сопротивлением $R = U/I = 2{,}4$ Ом. Напряжение на выходе повербанка равно $U = \varepsilon - Ir = 5{,}0 - 0{,}10\cdot 2{,}0 = 4{,}80$ В, а не 5,0 В. Если подставить $R$ и $r$ в $I = \dfrac{\varepsilon}{R+r}$, получим $\dfrac{5{,}0}{2{,}4+0{,}1} = 2{,}0$ А — ток совпадает с измеренным.

Сценарий задействует закон Ома для полной цепи $I = \dfrac{\varepsilon}{R+r}$ и следующее из него выражение для напряжения на зажимах $U = \varepsilon - Ir$: часть ЭДС теряется на внутреннем сопротивлении, поэтому реальный ток меньше, чем $\varepsilon/R$.

Аккумулятор автомобиля имеет $\varepsilon = 12{,}6$ В и внутреннее сопротивление $r = 0{,}020$ Ом. При запуске двигателя стартер потребляет $I = 200$ А. Сопротивление стартера находится из полной цепи: $R = \dfrac{\varepsilon}{I} - r = \dfrac{12{,}6}{200} - 0{,}020 = 0{,}043$ Ом. Напряжение на клеммах падает до $U = 12{,}6 - 0{,}020\cdot 200 = 8{,}6$ В, поэтому фары в момент пуска заметно тускнеют. Полная мощность $\varepsilon I = 2520$ Вт, из них на внутреннем сопротивлении рассеивается $I^{2}r = 200^{2}\cdot 0{,}020 = 800$ Вт.

Здесь проверяются обе части теории: связь $I = \dfrac{\varepsilon}{R+r}$ определяет ток через стартер, а разность $\varepsilon - Ir$ показывает, как большой ток уменьшает напряжение на нагрузке и увеличивает потери $I^{2}r$ внутри источника.

Фонарик питается от двух элементов с ЭДС $\varepsilon = 3{,}0$ В; сопротивление лампочки $R = 5{,}5$ Ом. У свежих элементов $r = 0{,}5$ Ом, поэтому $I = \dfrac{3{,}0}{5{,}5+0{,}5} = 0{,}50$ А, напряжение на лампе $U = 3{,}0 - 0{,}50\cdot 0{,}5 = 2{,}75$ В, а мощность $I^{2}R = 1{,}375$ Вт. По мере разряда внутреннее сопротивление растёт, например до $r = 2{,}0$ Ом. Тогда $I = \dfrac{3{,}0}{5{,}5+2{,}0} = 0{,}40$ А, $U = 3{,}0 - 0{,}40\cdot 2{,}0 = 2{,}20$ В, а мощность падает до $I^{2}R = 0{,}88$ Вт — свет заметно слабеет.

Сценарий показывает, что ток в полной цепи зависит не только от нагрузки $R$, но и от внутреннего сопротивления $r$: при неизменных $\varepsilon$ и $R$ рост $r$ уменьшает $I$ по формуле $I = \dfrac{\varepsilon}{R+r}$ и снижает напряжение на зажимах до $\varepsilon - Ir$.