Законы Ньютона для материальной точки

Материальная точка — это модель тела, размерами которого можно пренебречь: её положение задаёт радиус-вектор $\vec r(t)$, а изменение движения описывают скорость $\vec v = d\vec r/dt$ и ускорение $\vec a = d\vec v/dt$. Первый закон Ньютона утверждает, что существуют инерциальные системы отсчёта, в которых точка при $\sum \vec F = 0$ движется равномерно и прямолинейно, то есть $\vec v = \text{const}$. Второй закон связывает причину движения с его изменением: $\sum \vec F = m\vec a,$ поэтому ускорение направлено вдоль равнодействующей, а его модуль обратно пропорционален массе. Третий закон описывает взаимодействие двух точек: силы равны по модулю, противоположны по направлению и приложены к разным телам, $\vec F_{12} = -\vec F_{21}$. Именно поэтому силы третьего закона не складываются в одной точке и не «уничтожают» движение. Все три закона сформулированы для инерциальных систем отсчёта и справедливы для скоростей много меньше скорости света.

Материальная точка массой $m = 2{,}0$ кг движется по прямой. На неё действует единственная сила $\vec F = 6{,}0$ Н, направленная вдоль оси $x$. Найдите ускорение точки.

На материальную точку массой $m = 2{,}0$ кг действуют две силы: $\vec F_1 = 3{,}0$ Н вдоль оси $x$ и $\vec F_2 = 4{,}0$ Н вдоль оси $y$. Найдите модуль ускорения и угол между ускорением и осью $x$.

Материальная точка массой $m = 0{,}50$ кг движется вдоль оси $x$ так, что её скорость меняется по закону $v_x(t) = 4{,}0 + 6{,}0t$ (в единицах СИ). Найдите равнодействующую силу, действующую на точку, и выясните, постоянна ли она.

Проведите опыт в симуляции (например, PhET «Силы и движение: основы»), где можно задавать массу тела и приложенную силу и наблюдать ускорение. Порядок работы:

1. Установите массу $m = 1{,}0$ кг (в симуляции — в единицах кг) и приложите горизонтальную силу $F = 2$ Н; запишите измеренное ускорение в таблицу.
2. Удвойте силу при той же массе и проверьте предсказание второго закона: ускорение должно удвоиться.
3. Верните силу $F = 2$ Н, но удвойте массу; проверьте, что ускорение уменьшилось вдвое.
4. Постройте график зависимости $a$ от $F$ при постоянной массе и убедитесь, что точки ложатся на прямую с угловым коэффициентом $1/m$.
5. Включите в симуляции взаимодействие двух тел, отталкивающихся друг от друга, и сравните силы: они должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Используется именно симуляция, потому что прямое измерение сил на быстро движущихся телах в быту небезопасно и неточно. Записывайте результаты в виде таблицы «масса — сила — ускорение» и сверяйте их с формулой $\sum \vec F = m\vec a$.

Показать, что вектор ускорения материальной точки всегда направлен вдоль равнодействующей силы и что его модуль пропорционален модулю силы и обратно пропорционален массе; дополнительно показать, что силы третьего закона приложены к разным точкам.

Схема и график. Схема: точка $M$ на оси $x$, к ней из одной точки приложены стрелки-векторы $\vec F_1$ и $\vec F_2$, пунктиром построена их сумма $\sum \vec F$, а рядом из точки $M$ проведён вектор $\vec a$, параллельный $\sum \vec F$. Ниже — две отдельные точки $A$ и $B$, соединённые стрелками $\vec F_{AB}$ и $\vec F_{BA}$ равной длины и противоположного направления. График: прямая $a(F)$ при фиксированной массе $m$; тангенс угла наклона равен $1/m$, а для большей массы прямая идёт более полого.

Игрок бьёт по неподвижному мячу массой $m = 0{,}43$ кг на траве. Через $\Delta t = 0{,}015$ с от начала контакта мяч улетает со скоростью $v = 27$ м/с. Ускорение мяча за время удара $a = \frac{27}{0{,}015} = 1800$ м/с², а средняя сила удара $F = ma = 0{,}43 \cdot 1800 \approx 770$ Н.

Работает второй закон Ньютона в форме $\vec F = m\vec a$: известны массы и изменение скорости, из них находится сила. Третий закон Ньютона проявляется в паре «бутса — мяч»: мяч действует на бутсу силой $770$ Н, направленной противоположно силе удара. Первый закон виден после удара: мяч летит прямолинейно и почти равномерно, пока сопротивление воздуха не станет заметным.

Автомобиль массой $M = 1200$ кг, едущий со скоростью $20$ м/с, останавливается за $4$ с. Ускорение направлено против движения и равно $a = \frac{20}{4} = 5$ м/с². Это ускорение сообщает сила трения со стороны дороги, её модуль $F = Ma = 1200 \cdot 5 = 6000$ Н. Пассажира массой $60$ кг ремень удерживает с силой $60 \cdot 5 = 300$ Н.

Второй закон Ньютона $F = ma$ связывает замедление с равнодействующей: ускорение направлено назад, значит и равнодействующая направлена назад. Третий закон Ньютона описывает пару «колесо — дорога»: дорога действует на колесо силой $6000$ Н назад, а колесо на дорогу — силой $6000$ Н вперёд. Первый закон объясняет, зачем нужен ремень: без него пассажир продолжал бы двигаться со скоростью $20$ м/с, пока какая-нибудь сила его не остановит.

Телефон массой $m = 0{,}17$ кг лежит на полке в салоне. Автомобиль разгоняется от $0$ до $15$ м/с за $5$ с, то есть с ускорением $a = 3$ м/с². Чтобы телефон двигался вместе с машиной, полка должна действовать на него силой трения $F = ma = 0{,}17 \cdot 3 = 0{,}51$ Н. Если максимальная сила трения покоя всего $0{,}3$ Н, телефон получает ускорение лишь $0{,}3/0{,}17 \approx 1{,}8$ м/с² и сползает назад относительно полки.

Первый закон Ньютона: тело сохраняет свою скорость, пока равнодействующая равна нулю, поэтому в системе отсчёта, связанной с землёй, телефон просто «не успевает» за машиной. Второй закон Ньютона уточняет причину: ускорение задаёт именно равнодействующая, и если её ограничивает трение покоя, ограничено и ускорение — $a \le \mu N/m$.