Проводимость металлов и зависимость сопротивления от температуры

В металле часть валентных электронов обобществлена: они образуют электронный газ, способный перемещаться по образцу. Под действием электрического поля $E$ электроны приобретают дрейфовую скорость $v_d$, и ток описывается выражением $I = n e A v_d$. Сопротивление возникает из-за столкновений электронов с колеблющимися ионами кристаллической решётки: каждое столкновение сбивает направленное движение. При нагревании амплитуда тепловых колебаний ионов растёт, столкновения становятся чаще, среднее время свободного пробега $\tau$ уменьшается, а удельное сопротивление $\rho$ увеличивается. В умеренном интервале температур эта зависимость почти линейна: $\rho = \rho_0(1+\alpha\,\Delta T), \qquad \Delta T = T - T_0.$ Поскольку для проводника постоянного сечения $R = \rho L / A$, сопротивление подчиняется тому же закону: $R = R_0(1+\alpha\,\Delta T).$ Здесь $\rho_0$ и $R_0$ — значения при начальной температуре $T_0$, а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления; для металлов $\alpha > 0$ и составляет порядка $10^{-3}\ \text{K}^{-1}$. Формула работает вместе с законом Ома для участка цепи, который связывает измеряемые $I$ и $U$ с сопротивлением: $R = U/I$.

Медный провод имеет сопротивление $R_0 = 10.0\ \Omega$ при $T_0 = 20\ ^\circ\text{C}$. Температурный коэффициент меди $\alpha = 3.9\times10^{-3}\ \text{K}^{-1}$. Каким будет сопротивление провода при $80\ ^\circ\text{C}$?

Нить накала лампы изготовлена из вольфрама ($\alpha \approx 4.5\times10^{-3}\ \text{K}^{-1}$). При комнатной температуре $20\ ^\circ\text{C}$ её сопротивление $R_0 = 20\ \Omega$, а в рабочем режиме $R = 240\ \Omega$. Оцените температуру нити.

Студент измеряет сопротивление металлического резистора: при $0\ ^\circ\text{C}$ оно равно $R_1 = 4.00\ \Omega$, при $100\ ^\circ\text{C}$ — $R_2 = 5.56\ \Omega$. (а) Найдите $\alpha$ по этим двум точкам. (б) Предскажите $R$ при $400\ ^\circ\text{C}$ в рамках линейной модели. (в) Укажите одну причину, по которой предсказание может оказаться неточным.

Самопроверка в симуляции (безопасно). Используйте виртуальную лабораторию — например, PhET «Сопротивление в проводе» или симулятор цепи с терморезистором.

1. Задайте длину и площадь поперечного сечения провода и включите модель зависимости $\rho(T)$.
2. Запишите сопротивление $R$ при пяти значениях температуры, включая $T_0 = 20\ ^\circ\text{C}$.
3. Постройте график $R(T)$ и проверьте, что точки ложатся на прямую; найдите $\alpha$ по наклону: $\alpha = \dfrac{R-R_0}{R_0\,\Delta T}$.
4. Сравните найденное $\alpha$ с табличным значением для выбранного металла и объясните расхождение.

Меры безопасности. Никогда не проверяйте температурную зависимость, подключая лампу накаливания к сети 220 В. При домашнем измерении используйте только батарейное питание и мультиметр; сопротивление холодной нити измеряйте на отключённой и полностью остывшей лампе.

Показать, что сопротивление металла растёт с температурой почти линейно, и связать наклон графика с температурным коэффициентом $\alpha$ и механизмом столкновений электронов с ионами решётки.

График $R(T)$: прямая, проходящая через точку $(T_0, R_0)$ и имеющая наклон $\alpha R_0$; на том же рисунке отмечен наклон $\dfrac{\Delta R}{\Delta T}$. Рядом — схема: ионы в узлах кристаллической решётки и свободные электроны; стрелки показывают дрейф электронов, а две панели с малой и большой амплитудой колебаний ионов иллюстрируют, почему при нагревании столкновений становится больше.

Лампа мощностью $60\ \text{W}$ включена в сеть $230\ \text{V}$. В рабочем режиме нить из вольфрама ($\alpha \approx 4.5\cdot10^{-3}\ \text{K}^{-1}$) нагрета примерно до $2700\ ^\circ\text{C}$, её сопротивление $R_\text{hot} = U^2/P = (230\ \text{V})^2/60\ \text{W} \approx 882\ \Omega$, а ток $I = P/U \approx 0.26\ \text{A}$. При $20\ ^\circ\text{C}$ перепад температур $\Delta T \approx 2680\ \text{K}$, поэтому $R_\text{cold} = R_\text{hot}/(1+\alpha\Delta T) \approx 882/13 \approx 68\ \Omega$, и в момент включения ток достигает $230\ \text{V}/68\ \Omega \approx 3.4\ \text{A}$ — примерно в 13 раз больше рабочего.

Нить — металл: ток создаётся свободными электронами, которые ускоряются полем и сталкиваются с колеблющимися ионами решётки. При нагреве ионы колеблются с большей амплитудой, рассеяние усиливается, и удельное сопротивление растёт по закону $\rho = \rho_0(1+\alpha \Delta T)$. При неизменной геометрии $R=\rho L/A$ увеличивается во столько же раз — именно это связывает измеренные холодный и горячий токи с температурным коэффициентом $\alpha$.

Аккумулятор $12\ \text{V}$ питает стартер через медный провод длиной $1.2\ \text{m}$ и сечением $25\ \text{mm}^2$. При $20\ ^\circ\text{C}$ удельное сопротивление меди $\rho_0 = 1.7\cdot10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$, поэтому $R = \rho_0 L/A \approx 1.7\cdot10^{-8}\cdot1.2/(25\cdot10^{-6}) \approx 8.2\cdot10^{-4}\ \Omega \approx 0.8\ \text{m}\Omega$. При токе $150\ \text{A}$ падение напряжения на проводе $IR \approx 0.12\ \text{V}$, а мощность нагрева $I^2R \approx 18\ \text{W}$. За несколько секунд медь нагревается до $60\ ^\circ\text{C}$ ($\Delta T = 40\ \text{K}$, $\alpha = 3.9\cdot10^{-3}\ \text{K}^{-1}$): сопротивление растёт примерно на $16\%$ до $0.95\ \text{m}\Omega$, и падение напряжения становится $0.14\ \text{V}$.

Провод — металлический участок цепи, поэтому его сопротивление входит в закон Ома для полной цепи: ток задаётся суммой сопротивлений. Удельное сопротивление меди зависит от температуры по $\rho = \rho_0(1+\alpha\Delta T)$, а $R=\rho L/A$; значит, по мере нагрева сопротивление растёт и ток через стартер падает. Одновременно выделяется мощность $I^2R$, которая идёт на дальнейший нагрев — получается обратная связь.

Тостер мощностью $800\ \text{W}$ работает от сети $230\ \text{V}$; в рабочем режиме при температуре около $500\ ^\circ\text{C}$ его сопротивление $R_\text{hot} = U^2/P = (230\ \text{V})^2/800\ \text{W} \approx 66\ \Omega$, а ток $I = P/U \approx 3.5\ \text{A}$. Для нихрома $\alpha \approx 4\cdot10^{-4}\ \text{K}^{-1}$, и при $\Delta T = 480\ \text{K}$ множитель $1+\alpha\Delta T \approx 1.19$. Значит, при $20\ ^\circ\text{C}$ сопротивление $R_\text{cold} \approx 66/1.19 \approx 55\ \Omega$, а бросок тока при включении $230\ \text{V}/55\ \Omega \approx 4.1\ \text{A}$ — всего на $19\%$ выше рабочего.

Механизм тот же: электроны проводимости сталкиваются с ионами решётки, и рост температуры усиливает рассеяние. Но в неупорядоченном сплаве нихроме дополнительное рассеяние на тепловых колебаниях составляет малую долю, поэтому $\alpha$ мал, и сопротивление слабо меняется с температурой. Через закон Ома для полной цепи это означает почти постоянный ток $I = \varepsilon/(R+r)$ и мощность $P = I^2R$, что и нужно нагревательному прибору.