Магнитная индукция и суперпозиция магнитных полей

Магнитная индукция $\vec{B}$ — векторная силовая характеристика магнитного поля: она определяет силу, действующую на движущийся заряд или на элемент тока, и измеряется в теслах (Тл). Направление $\vec{B}$ для каждого источника находят по правилу правой руки (правилу буравчика). Для простых источников есть готовые формулы: длинный прямой провод $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$, центр кругового витка $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$, длинный соленоид $B = \mu_0 n I$. Поля разных источников не искажают друг друга: результирующая индукция равна векторной сумме $\vec{B} = \sum_i \vec{B}_i$, то есть работает принцип суперпозиции, причём поле каждого источника вычисляют так, как будто остальных нет. Поэтому любую задачу решают по шагам: сначала находят модуль и направление каждого вклада, затем складывают их как векторы. Сами токи определяются законом Ома, а сопротивление металла растёт с температурой, поэтому нагрев проводника током может изменить ток и создаваемое им поле.

Длинный прямой проводник с током $I = 5.0$ А расположен перпендикулярно плоскости чертежа, ток направлен к читателю (из-за чертежа). Найдите модуль магнитной индукции в точке на расстоянии $r = 2.0$ см от проводника и укажите направление вектора $\vec{B}$.

Два длинных параллельных проводника находятся на расстоянии $d = 0.20$ м друг от друга. Токи $I_1 = 3.0$ А и $I_2 = 5.0$ А текут в одном направлении, перпендикулярно плоскости чертежа к читателю (из-за чертежа). Найдите магнитную индукцию в точке $M$ посередине между проводниками.

Два длинных прямых проводника скрещены под прямым углом и изолированы друг от друга. Проводник 1 лежит вдоль оси $x$, ток $I_1 = 4.0$ А направлен в сторону $+x$. Проводник 2 лежит вдоль оси $z$, ток $I_2 = 6.0$ А направлен в сторону $+z$. Точка $P$ имеет координаты $(0;\,0.10;\,0)$ м. Найдите модуль и направление результирующей магнитной индукции в точке $P$.

План самопроверки в симуляции (безопасный, без реальных цепей).

Откройте браузерную симуляцию магнитного поля токов (например, PhET «Faraday's Electromagnetic Lab», вкладка с электромагнитом, или любую 2D-симуляцию поля проводников с током).

1. Разместите два длинных прямых проводника перпендикулярно экрану, задайте $I_1 = 3$ А и $I_2 = 5$ А в одном направлении и отметьте точку $P$ посередине между ними.
2. Включите только первый проводник, запишите модуль и направление $\vec{B}_1$ в точке $P$ (используйте измерительный инструмент симуляции).
3. Выключите первый и включите только второй проводник, запишите $\vec{B}_2$.
4. Включите оба и сравните наблюдаемый вектор с предсказанием $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2$; рассчитайте ожидаемый результат по формулам из примеров.
5. Поменяйте направление одного тока и найдите положение точки, в которой поле обратится в нуль; проверьте, что там $B_1 = B_2$.
6. Разнесите проводники так, чтобы вклады стали перпендикулярными, и убедитесь, что модуль результата равен $\sqrt{B_1^2 + B_2^2}$, а не $B_1 + B_2$.

Безопасность: все наблюдения проводите в симуляции. Не измеряйте магнитное поле рядом с бытовой сетью и не подключайте проводники к сети; при реальном опыте используйте только батарею до 1.5 В с токоограничивающим резистором.

Показать, что результирующая магнитная индукция в точке есть векторная сумма вкладов отдельных источников, а не сумма их модулей, поэтому до сложения нужно построить направление каждого вклада.

Схема (вид перпендикулярно проводникам): два длинных проводника с токами $I_1$ и $I_2$ и точкой $P$; в точке $P$ отложены векторы $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ с подписанными модулями, рядом построен параллелограмм векторов, его диагональ обозначена $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2$, показан угол $\alpha$ между вкладами и отдельно отмечен случай антипараллельных вкладов, где $B = |B_2 - B_1|$.

На спице велосипедного колеса закреплён диск-магнит. Когда спица проходит мимо герконового датчика, расстояние от центра магнита до датчика $r \approx 0{,}01$ м, а индукция поля магнита в этой точке $B_{\text{m}} \approx 0{,}02$ Тл. Индукция магнитного поля Земли там же $B_{\text{E}} \approx 5\cdot10^{-5}$ Тл. Колесо диаметром $0{,}66$ м при скорости $6{,}0$ м/с совершает $2{,}9$ об/с, поэтому магнит проходит мимо датчика $2{,}9$ раза в секунду.

Датчик срабатывает, когда вектор индукции в его точке превышает порог. Полное поле здесь — векторная сумма $\vec{B} = \vec{B}_{\text{m}} + \vec{B}_{\text{E}}$: $0{,}02$ Тл против $5\cdot10^{-5}$ Тл, то есть поле магнита больше в 400 раз, поэтому величина и направление суммы практически совпадают с полем магнита, а вклад Земли не меняет срабатывания.

Провод стартера автомобиля несёт ток $I = 120$ А и проходит на расстоянии $r = 0{,}30$ м от компаса на приборной панели. Поле прямого провода в точке компаса: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot120}{0{,}30} = 8\cdot10^{-5}$ Тл $= 80$ мкТл. Горизонтальная составляющая поля Земли в средней полосе $B_{\text{E}} \approx 2\cdot10^{-5}$ Тл $= 20$ мкТл. Ток включён $1{,}0$ с при пуске двигателя.

Стрелка компаса устанавливается вдоль суммарного поля $\vec{B}_{\Sigma} = \vec{B}_{\text{wire}} + \vec{B}_{\text{E}}$. Угол поворота стрелки задаётся отношением модулей: $\tan\theta = B_{\text{wire}}/B_{\text{E}} = 80/20 = 4$, откуда $\theta \approx 76^\circ$. Это прямое следствие того, что поля двух независимых источников складываются как векторы.

Канал разряда молнии переносит ток $I = 3\cdot10^{4}$ А. В точке на расстоянии $r = 100$ м от канала индукция равна $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot3\cdot10^{4}}{100} = 6\cdot10^{-5}$ Тл $= 60$ мкТл. Рядом поле Земли $B_{\text{E}} \approx 5\cdot10^{-5}$ Тл $= 50$ мкТл. Главная стадия разряда длится около $10^{-4}$ с.

Здесь важно сравнение масштабов: 60 мкТл и 50 мкТл — поля одного порядка, поэтому при противоположных направлениях сумма падает до $|60-50| = 10$ мкТл, а при совпадающих растёт до $60+50 = 110$ мкТл, и местное поле на миг меняется в разы. Это и есть суперпозиция: поля независимых источников складываются как векторы, а не заменяют друг друга.