Магнитный поток и закон электромагнитной индукции Фарадея

Магнитный поток $\Phi$ — это поток вектора магнитной индукции $\vec{B}$ через поверхность; для малого элемента площади $d\vec{A}$ он равен $d\Phi = \vec{B}\cdot d\vec{A}$, а для всей поверхности $\Phi = \int \vec{B}\cdot d\vec{A}$. Если поле однородно, а площадка плоская, то $\Phi = BA\cos\theta$, где $\theta$ — угол между вектором $\vec{B}$ и нормалью к площадке. Знак потока определяется выбранным направлением нормали, поэтому при изменении выбора нормали меняется знак $\Phi$. Вектор $\vec{B}$ от нескольких источников находится суперпозицией, поэтому сначала складывают поля, а затем вычисляют поток суммарного поля. Закон Фарадея утверждает, что ЭДС индукции в контуре равна скорости изменения магнитного потока с обратным знаком: $\mathcal{E} = -d\Phi/dt$; для $N$ витков $\mathcal{E} = -N\,d\Phi/dt$. Правило Ленца уточняет знак: индукционный ток направлен так, чтобы его магнитное поле противодействовало изменению потока.

Плоская квадратная рамка со стороной $a = 0.20$ м находится в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0.50$ Тл. Нормаль к рамке составляет угол $\theta = 60^\circ$ с вектором $\vec{B}$. Найдите магнитный поток через рамку.

Катушка содержит $N = 200$ витков площадью $A = 1.5\times 10^{-3}$ м$^2$. Однородное магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости витков и убывает от $B_1 = 0.40$ Тл до $B_2 = 0.10$ Тл за $\Delta t = 0.050$ с. Найдите среднюю ЭДС индукции и укажите направление индукционного тока, если начальное поле было направлено от наблюдателя.

Длинный прямой провод с током $I$ лежит в плоскости прямоугольной рамки. Рамка имеет длину $L$ (параллельно проводу) и ширину $w$ (перпендикулярно проводу); ближайшая сторона рамки находится на расстоянии $d$ от провода. Магнитное поле провода в точке на расстоянии $r$ равно $B = \mu_0 I/(2\pi r)$ и перпендикулярно плоскости рамки. Ток убывает по закону $I(t) = I_0 - kt$, где $k>0$. Найдите магнитный поток через рамку в момент $t$ и ЭДС индукции.

Самоподготовка с симуляцией. Откройте симуляцию по электромагнитной индукции (например, PhET «Electromagnetic Induction» или аналогичную) и выполните шаги:

1. Возьмите катушку-детектор и полосовой магнит. Медленно вдвиньте магнит в катушку и выдвиньте; запишите, когда гальванометр отклоняется.
2. Повторите движение с большей скоростью. Сравните максимальное отклонение; объясните через $\mathcal{E} = -d\Phi/dt$.
3. Оставьте магнит неподвижным внутри катушки. Проверьте, есть ли ток; объясните через $d\Phi/dt=0$.
4. Поверните катушку на $90^\circ$ так, чтобы ось катушки стала перпендикулярна полю. Сравните отклонения при одинаковом движении магнита.
5. Сделайте вывод: что именно должно меняться, чтобы возникла ЭДС?

Показать, что магнитный поток зависит от угла между полем и нормалью, а ЭДС индукции определяется скоростью изменения потока.

Схема: плоская рамка, вектор нормали $\vec{n}$, силовые линии $\vec{B}$ и угол $\theta$; рядом графики $\Phi(t)$ и $\mathcal{E}(t) = -d\Phi/dt$ для равномерно изменяющегося потока.

Динамо-машинка прижата к покрышке. Её катушка содержит $N = 2000$ витков, площадь каждого $A = 3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$, магнитное поле в зазоре $B = 0.15\ \mathrm{T}$. При скорости $40\ \mathrm{km/h}$ колесо делает $5$ оборотов в секунду, и поток через виток меняет знак каждые $0.05\ \mathrm{s}$: за это время $\Delta\Phi = 2BA = 9.0\times10^{-5}\ \mathrm{Wb}$.

По закону Фарадея средняя ЭДС за половину периода равна

$$\varepsilon = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 2000\cdot\frac{9.0\times10^{-5}\ \mathrm{Wb}}{0.05\ \mathrm{s}} \approx 3.6\ \mathrm{V}.$$

Этого хватает, чтобы лампа на $6\ \mathrm{V}$, $3\ \mathrm{W}$ светилась вполнакала, а при разгоне до $50\ \mathrm{km/h}$ — почти нормально.

Пример задействует обе части теории: сначала $\Phi = BA\cos\alpha$ задаёт поток через один виток, затем $\varepsilon = -N\,\Delta\Phi/\Delta t$ переводит скорость изменения потока в ЭДС, а множитель $N$ показывает, что витки, включённые последовательно, складывают свои ЭДС.

В задней крышке телефона лежит приёмная катушка: $N = 10$ витков площадью $A = 3.0\ \mathrm{cm^2} = 3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}$ каждый. Катушка зарядной площадки создаёт переменное поле с амплитудой $B = 5.0\ \mathrm{mT}$ и частотой $150\ \mathrm{kHz}$.

За половину периода $\Delta t = 1/(2f) = 3.3\times10^{-6}\ \mathrm{s}$ поток через виток меняется на $\Delta\Phi = 2BA = 3.0\times10^{-6}\ \mathrm{Wb}$, поэтому наведённая ЭДС

$$\varepsilon = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 10\cdot\frac{3.0\times10^{-6}}{3.3\times10^{-6}} \approx 9\ \mathrm{V}.$$

Выпрямитель превращает эти $9\ \mathrm{V}$ переменного тока в $5\ \mathrm{V}$ постоянного и заряжает аккумулятор мощностью около $5\ \mathrm{W}$. Приложите к катушке неподвижный магнит — поток перестанет меняться, $\Delta\Phi = 0$, и напряжение исчезнет.

Здесь работает требование, чтобы поток именно менялся: постоянное поле даёт $\Delta\Phi = 0$ и нулевую ЭДС, поэтому зарядка вынуждена питать катушку током высокой частоты $150\ \mathrm{kHz}$. Формула $\Phi = BA$ с площадью витка объясняет, почему приёмная катушка делается плоской и широкой.

Под стеклом индукционной плиты лежит катушка из $N = 25$ витков общей площадью $A = 2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$. Электроника гонит через неё ток частотой $20\ \mathrm{kHz}$, создавая над стеклом поле с амплитудой $B = 20\ \mathrm{mT}$.

За половину периода $\Delta t = 25\ \mu\mathrm{s}$ поток через катушку меняется на $\Delta\Phi = 2BA = 8.0\times10^{-4}\ \mathrm{Wb}$, и наведённая ЭДС достигает

$$\varepsilon = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 25\cdot\frac{8.0\times10^{-4}}{25\times10^{-6}} \approx 800\ \mathrm{V}.$$

Это напряжение гонит вихревые токи в стальном дне кастрюли, где выделяется мощность около $2000\ \mathrm{W}$ — вода в $2\ \mathrm{L}$ закипает за несколько минут. Стекло и алюминиевая фольга не нагреваются: у них слишком малое поле внутри и слишком большое сопротивление.

Пример задействует роль площади и числа витков в $\Phi = BA\cos\alpha$ и в $\varepsilon = -N\,\Delta\Phi/\Delta t$: то же поле $20\ \mathrm{mT}$ над площадью $2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}$ задаёт поток, а $N = 25$ умножает результат. Частота $20\ \mathrm{kHz}$ нужна именно потому, что ЭДС пропорциональна $\Delta\Phi/\Delta t$.