Кинетическая, потенциальная и полная механическая энергия: сохранение в действии

Энергия — это способность совершить работу: тело, движущееся со скоростью $v$, обладает кинетической энергией $E_k = \frac{mv^2}{2}$, а тело массы $m$, поднятое на высоту $h$ у поверхности Земли, — потенциальной энергией $E_p = mgh$. Обе величины скалярны и измеряются в джоулях — в тех же единицах, что и работа $A = Fs\cos\alpha$, — поэтому их можно складывать напрямую, а мощность $P = A/\Delta t$ говорит лишь о том, как быстро энергия превращается. Их сумма — это полная механическая энергия тела $E = E_k + E_p$. Когда действуют только консервативные силы (тяжести, идеальной пружины), совершённая ими работа полностью возвращается, поэтому $E = const$: сколько убыло потенциальной энергии, столько прибыло кинетической. Если же действует трение или сопротивление воздуха, механическая энергия не сохраняется: её изменение равно работе неконсервативных сил, $\Delta E = W_{нс} < 0$, а недостающая часть переходит во внутреннюю энергию — именно это учитывает КПД реального механизма. Столбчатая диаграмма $E_k$, $E_p$ и $E$ в зависимости от высоты делает этот баланс видимым с первого взгляда.

Тело массой $m = 2{,}0$ кг движется со скоростью $v = 3{,}0$ м/с на высоте $h = 5{,}0$ м над землёй. Считая $g = 9{,}8$ м/с², найдите его кинетическую, потенциальную и полную механическую энергию.

Санки съезжают без трения с горки высотой $h = 3{,}2$ м, стартуя из состояния покоя. (а) Какова их скорость у подножия? (б) На какой высоте кинетическая энергия санок равна потенциальной? Примите $g = 9{,}8$ м/с².

Тележка массой $m = 0{,}60$ кг скатывается из состояния покоя по наклонному рельсу длиной $s = 6{,}0$ м с высоты $H = 1{,}5$ м. У основания рельса её скорость равна $v = 4{,}0$ м/с. Найдите работу силы трения, среднюю силу трения и долю механической энергии, сохранившуюся к концу спуска. Примите $g = 9{,}8$ м/с².

Симуляция вместо реального склона. Все измерения проводите в интерактивной модели PhET «Энергия скейтбордиста» (Energy Skate Park): не пробуйте повторять опыт на настоящей доске или наклонной поверхности.

1. Включите режим энергии, отключите трение и поставьте скейтбордиста на высоту $h = 2{,}0$ м. Сначала предскажите по формуле $v = \sqrt{2gh}$ скорость в нижней точке, затем включите спидометр и сравните предсказание с показанием.
2. Заполните таблицу для трёх высот ($2{,}0$, $1{,}5$, $1{,}0$ м): $h$, измеренная $v$, вычисленные $E_k = \frac{mv^2}{2}$, $E_p = mgh$ и $E = E_k + E_p$. Проверьте, что $E$ постоянна с точностью около 5 %.
3. Включите ползунок трения и повторите опыт: запишите $E$ в начале и в конце одного спуска. Убедитесь, что разность равна работе силы трения, а суммарная энергия столбцов теперь падает. Сформулируйте вывод одним предложением: когда $E$ сохраняется и почему перестаёт сохраняться.

Проверка себя: на диаграмме найдите точку, где столбцы $E_k$ и $E_p$ равны, и сравните её высоту с $h/2$.

Показать, что при движении без трения сумма $E_k + E_p$ остаётся постоянной, а при наличии трения убывает ровно на работу силы трения.

Слева — схема горки с отмеченными точками A (вершина), B (середина, где $E_k = E_p$) и C (подножие). Справа под ней — столбчатая диаграмма энергии: для каждой точки два столбца $E_k$ и $E_p$, которые складываются в одну и ту же высоту — уровень $E = mgh_A$, проведённый пунктиром. Ниже — третий набор столбцов для случая с трением: суммарная высота меньше пунктирного уровня на величину $|W_{тр}|$, а недостающая часть показана серым блоком «внутренняя энергия».

Скейтбордист массой $55$ кг вместе с доской скатывается без толчка с верхнего края рампы высотой $2.0$ м. У основания рампы его скорость $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 9.8\cdot 2.0}\approx 6.3$ м/с, а кинетическая энергия $\frac{1}{2}mv^2=mgh=55\cdot 9.8\cdot 2.0\approx 1.1\cdot 10^3$ Дж.

Работает сохранение полной механической энергии $E=E_k+E_p$: наверху $E_p=mgh\approx 1.1$ кДж и $E_k=0$, внизу $E_p=0$ и вся энергия перешла в $E_k$. Если бы трение о рампу совершило заметную работу, эти две суммы не совпали бы, и разность равнялась бы работе силы трения.

Автомобиль массой $1200$ кг едет со скоростью $90$ км/ч $=25$ м/с. Его кинетическая энергия $E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot 1200\cdot 25^2=3.75\cdot 10^5$ Дж $=375$ кДж. При коэффициенте трения $\mu=0.7$ сила торможения $F=\mu mg\approx 8.2\cdot 10^3$ Н, поэтому путь до полной остановки $s=E_k/F\approx 46$ м.

Это теорема о кинетической энергии: работа силы трения $W=-Fs$ равна изменению кинетической энергии $\Delta E_k=0-375$ кДж. Связь квадратична по скорости: при $180$ км/ч та же энергия вчетверо больше, и тормозной путь растёт до $\approx 183$ м.

Телефон массой $0.20$ кг соскальзывает со стола высотой $1.2$ м. Потенциальная энергия $mgh=0.20\cdot 9.8\cdot 1.2\approx 2.4$ Дж к моменту удара о пол переходит в кинетическую, поэтому скорость удара $v=\sqrt{2gh}\approx 4.9$ м/с. Удар неупругий: механическая энергия превращается во внутреннюю — нагрев и деформацию корпуса и стекла.

Здесь видно, где сохранение механической энергии выполняется в чистом виде, а где нет: пока телефон в воздухе, $E_k+E_p$ постоянна, а при ударе о пол механическая энергия переходит в другие формы, хотя полная энергия сохраняется.