Проверка гипотезы по данным: как судить о соответствии модели измерениям

Гипотеза — это утверждение, из которого следуют проверяемые числовые предсказания; научный вопрос задаёт, какое именно предсказание мы сравниваем с данными.

Чтобы судить о соответствии, сравните предсказание $x_{\text{теор}}$ с результатом измерения $x_{\text{изм}} \pm u$, где $u$ — стандартная неопределённость измерения. Основные величины — расхождение (невязка) $\Delta = x_{\text{изм}} - x_{\text{теор}}$ и его отношение к неопределённости $|\Delta|/u$. Если $|\Delta| \lesssim u$, данные согласуются с гипотезой; если $|\Delta| > 3u$, гипотеза под серьёзным напряжением. При нескольких измерениях сначала находят среднее и стандартную неопределённость среднего $u = \frac{s}{\sqrt{n}},$ а затем сравнивают его с предсказанием. Согласие данных с гипотезой никогда её не доказывает: оно лишь означает, что гипотеза пока не опровергнута, тогда как большое расхождение — сильный аргумент против неё. Перед выводом об опровержении проверьте систематические эффекты и корректность самой неопределённости.

Гипотеза предсказывает период маятника $T_{\text{теор}} = 2.00$ с. Одно измерение даёт $T_{\text{изм}} = 2.04$ с со стандартной неопределённостью $u = 0.01$ с. Согласуются ли данные с гипотезой?

Три независимых измерения времени падения с высоты $h = 5.00$ м дали $1.01$, $0.99$ и $1.00$ с. Гипотеза утверждает свободное падение без начальной скорости: $t_{\text{теор}} = \sqrt{2h/g}$ при $g = 9.81$ м/с$^2$. Согласуются ли данные с гипотезой?

Есть две конкурирующие гипотезы о периоде маятника: A) $T \propto L$; B) $T \propto \sqrt{L}$. Измерения: при $L = 1.00$ м получено $T = 2.00 \pm 0.02$ с, при $L = 4.00$ м получено $T = 4.01 \pm 0.04$ с. Какая гипотеза лучше согласуется с данными?

Самопроверка гипотезы в симуляции маятника (например, PhET «Маятник»).

1. Сформулируйте гипотезу: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ при $g = 9.81$ м/с$^2$, и вопрос: «Согласуются ли данные с этой формулой?»
2. Выберите три длины, например $0.50$, $1.00$ и $1.50$ м.
3. Для каждой длины измерьте время 10 полных колебаний и разделите на 10 — это уменьшает случайную погрешность; повторите измерение 3 раза и найдите среднее и $u = s/\sqrt{n}$.
4. Вычислите предсказание, невязку $\Delta$ и отношение $|\Delta|/u$ для каждой длины.
5. Запишите вывод словами: где данные согласуются, где расхождение превышает $3u$; объясните, почему согласие не доказывает гипотезу.

Используйте симуляцию, а не бытовые измерения: точность ручного секундомера мала, а симуляция позволяет отделить случайный разброс от систематического расхождения.

Показать, что вывод о соответствии гипотезы зависит не только от величины расхождения, но и от неопределённости измерения: одно и то же $\Delta$ может быть и «согласием», и «противоречием».

Схема на числовой прямой: отмечено предсказание $x_{\text{теор}}$ (вертикальная линия, без собственной полосы неопределённости) и три результата измерения в виде точки с полосой $\pm u$. Случай 1: полоса уверенно накрывает $x_{\text{теор}}$, $|\Delta| \ll u$ — согласие, $|\Delta|/u \ll 1$. Случай 2: полоса лишь касается $x_{\text{теор}}$ своим краем, $|\Delta| \approx u$ — на границе согласия, $|\Delta|/u \approx 1$. Случай 3: полоса далеко от $x_{\text{теор}}$, $|\Delta| > 3u$ — противоречие, $|\Delta|/u > 3$. Рядом — формула $|\Delta|/u$ с подписанными значениями для каждого случая.

Тренер утверждает, что бегун в среднем показывает $8.0\ \text{m/s}$ на $100\ \text{m}$. Три электронных замера дают $12.6\ \text{s}$, $12.8\ \text{s}$ и $12.7\ \text{s}$. Среднее равно $12.7\ \text{s}$, значит средняя скорость $100/12.7 = 7.87\ \text{m/s}$. Разброс повторных забегов около $\pm 0.1\ \text{s}$.

Правило суждения: расхождение $8.0-7.87=0.13\ \text{m/s}$ надо сравнить с неопределённостью. Разброс времени $\pm 0.1\ \text{s}$ при $12.7\ \text{s}$ соответствует примерно $\pm 0.06\ \text{m/s}$ по скорости. Расхождение примерно вдвое больше неопределённости, поэтому утверждение не подтверждается явно и нужны дополнительные забеги.

Телефон замеряет 10 колебаний маятника длиной $0.50\ \text{m}$: $T=1.42\ \text{s}$ на одно колебание. Модель $T=2\pi\sqrt{L/g}$ при $g=9.81\ \text{m/s}^2$ предсказывает $T=1.42\ \text{s}$. Обратная формула даёт $g=4\pi^2 L/T^2 = 9.8\ \text{m/s}^2$. Разброс из-за времени реакции даёт $\pm 0.02\ \text{s}$ в $T$.

Здесь суждение об evidence опирается на предсказание модели и перенос неопределённости. Измеренное $g=9.8\ \text{m/s}^2$ отличается от $9.81\ \text{m/s}^2$ на $0.01\ \text{m/s}^2$. Неопределённость $\pm 0.02\ \text{s}$ в $T$ даёт около $\pm 0.3\ \text{m/s}^2$ в $g$; расхождение много меньше, поэтому гипотеза согласуется с данными. Если бы $T$ было $1.60\ \text{s}$, то $g=7.7\ \text{m/s}^2$ — расхождение $2.1\ \text{m/s}^2$, которое заставило бы отвергнуть гипотезу или искать систематическую ошибку.

Кухонный термометр показывает кипящую воду как $98.2\ ^\circ\text{C}$, $98.5\ ^\circ\text{C}$ и $98.1\ ^\circ\text{C}$; среднее $98.3\ ^\circ\text{C}$. Заявленная точность термометра $\pm 0.5\ ^\circ\text{C}$. Местная высота над уровнем моря около $500\ \text{m}$.

Суждение о evidence против гипотезы $T=100\ ^\circ\text{C}$: расхождение $100-98.3=1.7\ ^\circ\text{C}$, что в $3.4$ раза больше неопределённости $\pm 0.5\ ^\circ\text{C}$, поэтому простая гипотеза отвергается. Поскольку высота около $500\ \text{m}$, ожидаемая температура кипения близка к $98.3\ ^\circ\text{C}$; evidence поддерживает уточнённую гипотезу: температуру кипения задаёт давление, а не только нагрев.