Интерференция и дифракция звука: основы для практического применения

Звук — продольная механическая волна: давление воздуха колеблется вдоль направления распространения, а волна идёт со скоростью $v$, заданной средой, с длиной волны $\lambda = v/f$.

Когда два когерентных источника (одна и та же частота, постоянная разность фаз) излучают в одну область, волны складываются, и амплитуда в каждой точке зависит от разности хода $\Delta r = r_2 - r_1$. Конструктивная интерференция (громче) наблюдается при

$$\Delta r = n\lambda, \qquad n = 0, \pm1, \pm2, \dots$$

а деструктивная (тише) — при

$$\Delta r = \left(n+\tfrac12\right)\lambda.$$

Для двух источников, разнесённых на расстояние $d$, максимумы лежат в направлениях $\theta$, отсчитываемых от средней линии, где

$$d\sin\theta = n\lambda.$$

Дифракция — это огибание и расхождение волны у края или отверстия; она сильна, когда размер препятствия или отверстия $a$ сравним с длиной волны или меньше неё ($a \lesssim \lambda$). Для дверного проёма $a \approx 0{,}8$ м условие $a \lesssim \lambda$ выполняется лишь при $\lambda \gtrsim 0{,}8$ м, то есть при $f \lesssim v/a \approx 400$ Гц: только низкие и средние частоты слышимого диапазона дифрагируют на проёме сильно, тогда как при $\lambda \ll a$ (высокие частоты) проём пропускает почти прямолинейный, лишь слегка расходящийся пучок. Минимумы на одной щели удовлетворяют $a\sin\theta = n\lambda$, так что при $\lambda > a$ минимума нет вовсе, и звук расходится за отверстием почти равномерно.

Два громкоговорителя работают синфазно на частоте $f = 680$ Гц в воздухе, где $v = 340$ м/с. Слушатель стоит там, где расстояния до громкоговорителей равны $r_1 = 4{,}00$ м и $r_2 = 5{,}25$ м. Найдите длину волны и определите, находится ли слушатель в максимуме (громко) или в минимуме (тихо).

Два синфазных громкоговорителя стоят на сцене на расстоянии $d = 2{,}0$ м друг от друга и излучают тон $f = 343$ Гц ($v = 343$ м/с). Слушатель идёт по дальней дуге, все точки которой находятся от источников на расстояниях, много больших $d$. (а) Под каким углом от средней линии расположен первый боковой максимум? (б) Сколько всего максимумов можно обнаружить на этой дуге?

Источник звука в комнате излучает тон, который доходит до слушателя снаружи через открытый дверной проём шириной $a = 0{,}80$ м. $v = 340$ м/с. (а) Возможен ли при $f = 200$ Гц дифракционный минимум? Оцените, как меняется громкость при смещении слушателя в сторону. (б) Сравните с $f = 4000$ Гц и объясните, почему басовые ноты слышны за углом, а высокие — нет.

План самостоятельной работы (безопасно, дома или в классе).

Безопасность. Держите громкость умеренной, не прикладывайте громкоговорители к ушам и не используйте наушники для этой работы; если в ушах появился звон или дискомфорт — прекратите и отдохните в тишине.

Вариант A — моделирование (если шум нежелателен). Откройте симуляцию PhET «Wave Interference» в режиме двух источников. Задайте длину волны, эквивалентную $f = 2000$ Гц при $v = 343$ м/с ($\lambda \approx 0{,}17$ м), и расстояние между источниками $d = 3\lambda$. Отметьте на экране линии максимумов и минимумов, затем измените $d$ и $\lambda$ и запишите, как меняется число и густота полос. Дополнительно включите режим одной щели и меняйте ширину $a$ от $0{,}2\lambda$ до $5\lambda$, фиксируя, при каком отношении расхождение за щелью становится заметно узким.

Вариант B — измерение со смартфоном. Поставьте два небольших громкоговорителя (или два телефона) на расстоянии $d = 1{,}00$ м, включите на обоих один и тот же тон $f = 2000$ Гц. На расстоянии $D = 2{,}00$ м проведите линию, параллельную линии источников, и через каждые 0,05 м записывайте показание приложения-шумомера. Предсказание: расстояние между соседними минимумами

$$\Delta x \approx \frac{\lambda D}{d} = \frac{0{,}17 \cdot 2{,}00}{1{,}00} \approx 0{,}34 \text{ м}.$$

Постройте график «уровень звука — координата», найдите минимумы и сравните измеренное $\Delta x$ с предсказанным. Повторите опыт при $f = 200$ Гц и объясните, почему картина стала грубее и почему у открытой двери низкий тон слышен почти под любым углом.

Показать, как разность хода двух когерентных источников создаёт гиперболические громкие и тихие зоны и как число и шаг максимумов зависят от отношения $d/\lambda$.

Схема (эскиз с подписями). На горизонтальной линии — две точки $S_1$ и $S_2$ на расстоянии $d$; из них к точке слушателя $P$ проведены прямые отрезки $r_1$ и $r_2$, а угол $\theta$ отложен от средней линии (перпендикуляра к $S_1S_2$). Сплошные кривые, проходящие через точки с $\Delta r = n\lambda$, подписаны «максимумы (громко)», штриховые кривые с $\Delta r = \left(n+\tfrac12\right)\lambda$ — «минимумы (тихо)».

Врезка. Плоская волна падает на отверстие шириной $a$; за отверстием фронты изгибаются в область геометрической тени; рядом подпись: $a \lesssim \lambda$ — сильное расхождение, $a \gg \lambda$ — почти прямолинейное распространение.

В наушниках микрофон улавливает внешний гул с частотой $200\ \text{Hz}$; при скорости звука в воздухе $343\ \text{m/s}$ длина волны равна $\lambda=v/f=343/200\approx1.7\ \text{m}$. Электроника посылает в динамик волну той же частоты, но в противоположной фазе. У уха эти две звуковые волны складываются, и деструктивная интерференция уменьшает громкость примерно на $20\ \text{dB}$.

Здесь работает суперпозиция двух звуковых волн и условие деструктивной интерференции: при разности фаз $\Delta\phi=(2n+1)\pi$ волны гасят друг друга. В активном шумоподавлении сдвиг фаз создают электронно, а не только разностью хода; разность хода $\Delta r=(n+1/2)\lambda$ даёт тот же результат, если волны приходят от двух источников.

Два динамика стоят на расстоянии $2.0\ \text{m}$ друг от друга и излучают звук частотой $686\ \text{Hz}$. При $v=343\ \text{m/s}$ длина волны $\lambda=v/f=343/686=0.50\ \text{m}$. Если в точке A расстояния до динамиков $6.00\ \text{m}$ и $6.50\ \text{m}$, разность хода $\Delta r=0.50\ \text{m}=\lambda$, поэтому громкость максимальна. В точке B при расстояниях $6.00\ \text{m}$ и $6.25\ \text{m}$ разность хода $\Delta r=0.25\ \text{m}=\lambda/2$, поэтому звук почти гасится.

Это прямое применение условий интерференции для двух когерентных источников: максимумы возникают при $\Delta r=n\lambda$, минимумы — при $\Delta r=(n+1/2)\lambda$. Сценарий проверяет, как разность хода, выраженная в длинах волн, управляет громкостью в разных точках зала.

На открытой площадке играет группа. Басовая нота $85\ \text{Hz}$ имеет длину волны $\lambda=v/f=343/85\approx4.0\ \text{m}$, а тарелка $8.0\ \text{kHz}$ — $\lambda=343/8000\approx0.043\ \text{m}$. Ширина ворот или дверного проёма около $1.0\ \text{m}$. Бас огибает край здания и слышен за углом, а высокие частоты почти не огибают препятствие.

Здесь проявляется дифракция: звук заметно огибает препятствие или проходит через щель, когда длина волны сравнима с размером препятствия или щели. Для баса $\lambda\approx4.0\ \text{m}$ при щели $1.0\ \text{m}$ дифракция сильная; для тарелки $\lambda\approx0.043\ \text{m}\ll1.0\ \text{m}$ дифракция слабая.