Разрешение прибора и неопределённость измерения

Любой прибор характеризуется разрешением — наименьшим изменением измеряемой величины, которое вызывает заметное изменение показания.

У аналоговой шкалы разрешение равно цене наименьшего деления, у цифрового дисплея — единице последнего разряда. Результат измерения всегда записывают как $x \pm \Delta x$, и разрешение задаёт лишь нижнюю границу неопределённости: к ней добавляются случайный разброс и систематические погрешности. Для однократного отсчёта по аналоговой шкале принимают $\Delta x = \frac{1}{2}\,\delta$, где $\delta$ — цена деления; для цифрового прибора $\Delta x = \delta$ (единица последнего разряда). Относительная неопределённость $\varepsilon = \frac{\Delta x}{x}\cdot 100\%$ показывает, годится ли прибор для данной задачи: если $x$ сравнима с $\delta$, величина $\varepsilon$ становится огромной. При умножении и делении относительные неопределённости складываются, поэтому точность итога определяется самой грубой из измеренных величин.

Линейкой с миллиметровыми делениями измеряют длину бруска; отсчёт $L = 24.6$ см. Запишите результат с неопределённостью и найдите относительную неопределённость.

Масса образца на цифровых весах $m = 12.34$ г (единица последнего разряда $0.01$ г). Объём отмерен мензуркой: $V = 5.0 \pm 0.5$ см$^3$. Найдите плотность образца и её неопределённость.

Нужно измерить толщину одного листа бумаги с относительной неопределённостью не более $1\%$. В распоряжении есть только линейка с разрешением $0.5$ мм. Прямое измерение одного листа даёт около $0.1$ мм. Предложите метод и оцените достижимую неопределённость.

Самостоятельная работа с двумя приборами разного разрешения.

1. Возьмите линейку с миллиметровыми делениями и цифровые весы (или миллиметровую бумагу и кухонные весы). Определите и запишите разрешение каждого прибора.
2. Измерьте линейкой толщину одной страницы книги напрямую; запишите $t \pm \Delta t$ и $\varepsilon$.
3. Измерьте толщину стопки из 100 страниц и получите толщину одной страницы делением; снова запишите $t \pm \Delta t$ и $\varepsilon$.
4. Сравните два значения $\varepsilon$ и объясните, почему деление на большое число $N$ уменьшает относительную неопределённость.
5. Дополнительно: измерьте предмет на весах, а затем сложите несколько одинаковых предметов и измерьте их суммарную массу — повторите рассуждение для случая сложения.

Безопасность. Работайте только с обычными безопасными предметами (листы бумаги, книга, монеты, сухие продукты). Не измеряйте горячие, находящиеся под напряжением, острые или хрупкие предметы. Если приборов нет, выполните шаги в симуляции (например, виртуальная линейка или PhET «Measurement») — это полностью заменяет опыт.

Показать, что любой отсчёт по шкале лежит внутри интервала шириной в одно деление и что именно этот интервал задаёт минимальную неопределённость результата.

Схема. Увеличенный участок линейки: отметки каждые $0.1$ см, штрихи подписаны. Отсчёт $L = 24.6$ см показан вертикальной стрелкой, которая стоит точно на штрихе $24.6$ см (между штрихами $24.6$ см и $24.7$ см оказался бы, например, отсчёт $24.65$ см). Вокруг отсчёта заштрихована полоса полной шириной $\delta = 0.1$ см, то есть от $L - \Delta L$ до $L + \Delta L$ при $\Delta L = 0.05$ см: её полуширина равна $\Delta L = 0.05$ см, а полная ширина как раз равна цене деления $\delta$, а не меньше неё. Рядом столбиковая диаграмма для примера 2: два столбца $\varepsilon_m \approx 0.08\%$ и $\varepsilon_V = 10\%$, наглядно показывающие, какая величина определяет итоговую неопределённость.

Победителя школьного забега на $100\ \text{м}$ ты засекаешь секундомером телефона: на экране $t = 13{,}42\ \text{с}$. Экран меняется шагами по $0{,}01\ \text{с}$, значит разрешение прибора $\Delta t_{\text{рез}} = 0{,}01\ \text{с}$, а неопределённость отсчёта по дисплею $\pm 0{,}005\ \text{с}$. Но ты сам нажимаешь кнопку: задержка реакции на старте и на финише даёт не меньше $\pm 0{,}15\ \text{с}$. Честная запись результата — $t = (13{,}42 \pm 0{,}15)\ \text{с}$, относительная неопределённость $0{,}15/13{,}42 \approx 1\,\%$, а средняя скорость бегуна $v = 100/13{,}42 \approx 7{,}45\ \text{м/с}$ известна не лучше, чем $\pm 0{,}08\ \text{м/с}.

Здесь работает различие между разрешением и неопределённостью: разрешение задаёт только последний печатаемый разряд, а неопределённость измерения определяется самым большим из вкладов — здесь это $\pm 0{,}15\ \text{с}$ реакции, в 15 раз больше шага дисплея. Поэтому записывать сотые доли ($13{,}42$) как значимые нельзя, и результат округляют до десятых: $t = (13{,}4 \pm 0{,}2)\ \text{с}$, а скорость считают из округлённых значений.

Для каши нужно $250\ \text{мл}$ воды, а под рукой кувшин $500\ \text{мл}$ с делениями через $25\ \text{мл}$. Разрешение такого кувшина $\Delta V_{\text{рез}} = 25\ \text{мл}$, значит отсчёт уровня воды даёт неопределённость $\pm 12{,}5\ \text{мл}$, то есть $V = (250 \pm 12)\ \text{мл}$. Относительная неопределённость объёма $12{,}5/250 = 5\,\%$. Если взять мензурку с делениями через $5\ \text{мл}$, получится $\pm 2{,}5\ \text{мл}$, то есть $1\,\%$.

Половина цены деления — стандартная оценка неопределённости одного отсчёта по шкале, а деление этой величины на измеренное значение даёт относительную неопределённость. Дальше она переносится на вычисляемую величину: если по рецепту на $250\ \text{мл}$ воды идёт $125\ \text{г}$ крупы, то отношение вода/крупа $= 2{,}00$ известно с той же точностью $5\,\%$, то есть $2{,}0 \pm 0{,}1$.

Телефон в держателе показывает пройденный путь $s = 1{,}20\ \text{км}$ (разрешение $0{,}01\ \text{км}$, отсчёт $\pm 0{,}005\ \text{км}$) и время в пути $t = 72{,}0\ \text{с}$ (разрешение $0{,}1\ \text{с}$, отсчёт $\pm 0{,}05\ \text{с}$). Средняя скорость $v = s/t = 1200/72{,}0 = 16{,}7\ \text{м/с} = 60{,}0\ \text{км/ч}$. Относительные неопределённости: $0{,}005/1{,}20 = 0{,}42\,\%$ и $0{,}05/72{,}0 = 0{,}07\,\%$; складывая их, получаем примерно $0{,}4\,\%$, то есть $v = (16{,}7 \pm 0{,}07)\ \text{м/с}$.

Здесь видно, как две независимые неопределённости отсчёта, рождённые разрешением двух приборов, переходят в неопределённость вычисляемой величины: при делении относительные неопределённости складываются, и итог округляется до того разряда, который ещё значим. Обрати внимание: доминирует вклад пути ($0{,}42\,\%$), поэтому улучшать точность отсчёта времени вдвое бессмысленно.