Инерциальные системы отсчёта и принцип относительности Галилея

Инерциальная система отсчёта — это система, в которой тело, на которое не действует равнодействующая внешних сил, движется с постоянной скоростью, то есть выполняется первый закон Ньютона. Любая система, движущаяся с постоянной скоростью $\vec V$ относительно инерциальной, тоже инерциальна; системы, которые ускоряются или вращаются, инерциальными не являются.

Координаты одного и того же события в двух инерциальных системах связаны преобразованием Галилея

$$\vec r' = \vec r - \vec V t, \qquad t' = t.$$

Однократное дифференцирование даёт $\vec v' = \vec v - \vec V$, а двукратное — $\vec a' = \vec a$: ускорение одинаково во всех инерциальных системах. Силы в механике зависят от взаимных расстояний и разностей скоростей, которые не меняются при постоянном сдвиге $\vec V t$, поэтому $\vec F = m\vec a$ сохраняет в точности один и тот же вид в любой инерциальной системе. Это и есть принцип относительности Галилея: никакой механический опыт внутри замкнутой лаборатории не обнаружит её равномерного прямолинейного движения.

Система $S'$ движется относительно инерциальной системы $S$ с постоянной скоростью $\vec V = 4\ \text{m/s}$ вдоль общей оси $x$; при $t = 0$ начала координат совпадают. В системе $S$ мяч в момент $t = 0$ находится в точке $x = 6\ \text{m}$ и движется с постоянной скоростью $v_x = 5\ \text{m/s}$. Найдите $x'$ и $v_x'$ при $t = 3\ \text{s}$.

В системе $S$ шайба массой $m = 0.5\ \text{kg}$ скользит по гладкому льду; её скорость равна $\vec v_1 = (6, 0)\ \text{m/s}$ при $t_1 = 1\ \text{s}$ и $\vec v_2 = (6, 4)\ \text{m/s}$ при $t_2 = 3\ \text{s}$. Система $S'$ движется относительно $S$ со скоростью $\vec V = (2, 0)\ \text{m/s}$. Найдите ускорение и равнодействующую силу, действующую на шайбу, в системе $S$, затем повторите расчёт в $S'$ и сравните результаты.

Поезд движется с постоянной скоростью $\vec V = 15\ \text{m/s}$ вдоль оси $x$. Пассажир бросает мяч вертикально вверх с начальной скоростью $u = 4\ \text{m/s}$ относительно поезда; примите $g = 10\ \text{m/s}^2$. Запишите $x(t)$, $y(t)$ мяча в системе поезда $S'$ и в системе земли $S$, сравните ускорения и объясните, что это говорит об инерциальности обеих систем.

План самостоятельной работы (без опасных измерений). (1) Прокатите шарик по гладкому горизонтальному столу и снимите его на телефон в замедленном режиме; вдоль стола положите линейку или бумажную ленту. (2) По видео (или в приложении для анализа видео) определите координаты шарика $x$ в системе комнаты $S$ для нескольких моментов времени. (3) В таблице постройте вторую систему $S'$, движущуюся с выбранной постоянной скоростью $V$: для каждого кадра вычислите $x' = x - Vt$. (4) Постройте графики $x(t)$ и $x'(t)$: наклоны (скорости) отличаются на $V$, но обе линии остаются прямыми, значит $a = a' = 0$. (5) Дополнительно, только сидя на месте и не вставая в движущемся транспорте: подбросьте монету в автобусе или поезде, идущем с постоянной скоростью, и отметьте, что она возвращается в руку так же, как в неподвижной комнате; объясните наблюдение через $\vec v' = \vec v - \vec V$.

Показать, что одно и то же событие имеет разные радиус-векторы и скорости в двух инерциальных системах, тогда как его ускорение (а значит, и сила) одинаково.

Схема: две декартовы системы $S$ и $S'$ с параллельными осями, причём $S'$ смещена вдоль оси $x$ на $x_0 = Vt$; событие $P$ с радиус-векторами $\vec r$ (из $O$) и $\vec r'$ (из $O'$) и штриховой вектор $\vec V t$, замыкающий треугольник $\vec r = \vec r' + \vec V t$. Рядом — маленький треугольник скоростей $\vec v = \vec v' + \vec V$ и два коротких графика $v_x(t)$ для $S$ и $S'$: параллельные прямые с постоянной разностью $V$ и нулевым наклоном, подпись $a = a' = 0$.

Поезд идёт по прямому пути со скоростью $20\ \text{м/с}$ ($72\ \text{км/ч}$). Пассажир бросает мяч вертикально вверх со скоростью $5\ \text{м/с}$ относительно поезда. При $g = 9.8\ \text{м/с}^2$ мяч возвращается в руку через $t = 2v/g \approx 1.0\ \text{с}$, поднявшись на $h = v^2/2g \approx 1.3\ \text{м}$. За эту секунду горизонтальная координата мяча следует за поездом: в системе отсчёта земли он проходит $20\ \text{м}$ и описывает параболу.

Преобразование скоростей Галилея: скорость в системе земли есть $\vec v = \vec v_{\text{поезд}} + \vec v_{\text{мяч/поезд}}$. Горизонтальная составляющая $20\ \text{м/с}$ общая для мяча и поезда, поэтому мяч не отстаёт; запись $F = ma$ в системе поезда даёт то же время полёта $t = 2v/g$, что и в системе земли.

Река шириной $60\ \text{м}$ течёт со скоростью $2.0\ \text{м/с}$. Гребец движет байдарку со скоростью $3.0\ \text{м/с}$ перпендикулярно берегу относительно воды. Переправа занимает $t = 60/3.0 = 20\ \text{с}$; течение сносит байдарку на $2.0 \times 20 = 40\ \text{м}$ вниз по реке, а скорость относительно берега равна $\sqrt{3.0^2 + 2.0^2} \approx 3.6\ \text{м/с}$.

Сложение скоростей между инерциальными системами: $\vec v_{\text{берег}} = \vec v_{\text{байдарка/вода}} + \vec v_{\text{вода/берег}}$. Обе системы движутся друг относительно друга с постоянной скоростью, поэтому ускорение одинаково и на время переправы не влияет никакая дополнительная сила; время задаёт только перпендикулярная составляющая.

Автобус, идущий со скоростью $15\ \text{м/с}$, равномерно тормозит до остановки за $3.0\ \text{с}$, то есть его ускорение равно $-5.0\ \text{м/с}^2$. Пассажир массой $60\ \text{кг}$ продолжает двигаться вперёд относительно автобуса и ощущает толчок, которому описание в системе автобуса приписывает силу инерции $|F| = ma = 60 \times 5.0 = 300\ \text{Н}$. Пока автобус едет с постоянной скоростью, телефон, лежащий на сиденье, показывает нулевое ускорение.

Определение инерциальной системы: первый закон Ньютона выполняется только в системах, движущихся с постоянной скоростью. В тормозящем автобусе векторная сумма реальных сил, действующих на телефон, равна нулю, но $\vec a \neq 0$ в этой системе, значит система неинерциальна и нужно добавить силу инерции $-m\vec a_{\text{системы}}$.