КПД тепловой машины и предел Карно

Тепловая машина получает от нагревателя теплоту $Q_1$, совершает работу $A$ и отдаёт холодильнику теплоту $Q_2$. За полный цикл внутренняя энергия рабочего тела возвращается к исходному значению, поэтому первое начало термодинамики даёт $A = Q_1 - Q_2$. КПД определяется как отношение полезной работы к подведённой теплоте: $\eta = \frac{A}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}.$ Карно показал, что при фиксированных температурах нагревателя $T_1$ и холодильника $T_2$ ни один цикл не может превысить $\eta_{\max} = 1 - \frac{T_2}{T_1},$ причём равенство достигается только на обратимом цикле Карно. В этой формуле температуры обязательно берутся в абсолютной шкале (кельвинах), иначе отношение $T_2/T_1$ теряет смысл. Отсюда следуют три важных вывода: КПД всегда меньше единицы, он растёт при увеличении $T_1$ или уменьшении $T_2$, а $\eta = 1$ требовал бы $T_2 = 0$ К, что недостижимо.

За один цикл рабочее тело получает от нагревателя $Q_1 = 800$ Дж и отдаёт холодильнику $Q_2 = 600$ Дж. Найдите работу за цикл и КПД машины.

Идеальная машина Карно работает между нагревателем при $T_1 = 500$ К и холодильником при $T_2 = 300$ К. За цикл от нагревателя подводится $Q_1 = 1000$ Дж. Найдите максимальный КПД, максимальную работу за цикл и теплоту, отданную холодильнику.

Изобретатель утверждает, что его машина за цикл берёт у нагревателя с $T_1 = 400$ К теплоту $Q_1 = 5000$ Дж и отдаёт холодильнику с $T_2 = 300$ К теплоту $Q_2 = 2500$ Дж. Возможно ли это? Обоснуйте ответ расчётом. Какая максимальная работа допустима при тех же условиях?

Самостоятельная работа с моделью тепловой машины (безопасно, без реальных нагревателей).

1. Откройте интерактивную модель тепловой машины или цикла Карно (например, симулятор цикла Карно в браузере). Не используйте настоящие кипящую воду, пар или открытый огонь: горячие резервуары моделируются виртуально.
2. Для 4–5 пар температур $T_1$ и $T_2$ зафиксируйте подведённую теплоту $Q_1$, отведённую теплоту $Q_2$, работу $A$ и КПД $\eta$; сведите результаты в таблицу.
3. Для каждой строки вычислите $\eta_{\max} = 1 - T_2/T_1$ и сравните с измеренным $\eta$ в модели.
4. Постройте график зависимости $\eta$ от отношения $T_2/T_1$ и наложите на него прямую $1 - T_2/T_1$.
5. Сформулируйте вывод: как меняется КПД при росте $T_1$ и при снижении $T_2$ и почему точки никогда не поднимаются выше прямой Карно.

Показать энергетические потоки в тепловой машине и наглядно объяснить, почему КПД ограничен отношением температур и не может достичь 100 %.

Схема: нагреватель с температурой $T_1$ сверху, стрелка $Q_1$ вниз к рабочему телу, из него стрелка $A$ вбок (полезная работа) и стрелка $Q_2$ вниз к холодильнику с температурой $T_2$. Рядом — график: по горизонтальной оси отношение $T_2/T_1$ от 0 до 1, по вертикальной — $\eta$; прямая $\eta_{\max} = 1 - T_2/T_1$ и точки, лежащие ниже неё.

Бензиновый двигатель объёмом $1.6\ \mathrm{L}$ сжигает топливо короткими порциями; горящие газы нагреваются примерно до $2200\ \mathrm{K}$, а охлаждается двигатель наружным воздухом при температуре около $300\ \mathrm{K}$. Из каждых $100\ \mathrm{MJ}$ теплоты, выделившейся при сгорании топлива, до колёс доходит лишь около $30\ \mathrm{MJ}$ полезной работы — остальные $70\ \mathrm{MJ}$ уносят радиатор, выхлопная труба и трение.

Здесь $\eta = W/Q_H = 30/100 = 0.30$, то есть $30\%$. Предел Карно при тех же температурах равен $\eta_{C} = 1 - T_C/T_H = 1 - 300/2200 \approx 0.86$; реальный двигатель далёк от него, потому что теплообмен за миллисекунды необратим, газ расширяется не полностью и часть теплоты уходит с выхлопом, не совершив работы.

На тепловой электростанции пар входит в турбину при $550\ ^\circ\mathrm{C}$, то есть при $823\ \mathrm{K}$, а отработавший пар конденсируется в градирне, отдавая теплоту воде с температурой $30\ ^\circ\mathrm{C}$, то есть $303\ \mathrm{K}$. В сеть станция отдаёт около $400\ \mathrm{MW}$ электрической мощности, тогда как топливо даёт около $1000\ \mathrm{MW}$ теплоты.

$\eta = 400/1000 = 0.40$, то есть $40\%$, тогда как предел Карно равен $\eta_{C} = 1 - 303/823 \approx 0.63$. Разрыв в $23$ процентных пункта — цена реального цикла: лопатки турбины, конечная разность температур в котле и насосы забирают часть работы, а теплота передаётся через разности температур, а не обратимо.

Турбовентиляторный двигатель на высоте $11\ \mathrm{km}$ сжигает около $1\ \mathrm{kg}$ керосина в секунду, а это примерно $43\ \mathrm{MJ}$ теплоты каждую секунду ($43\ \mathrm{MW}$). Температура в камере сгорания около $1800\ \mathrm{K}$, а наружный воздух на этой высоте имеет температуру около $220\ \mathrm{K}$. В мощность тяги двигатель превращает примерно $15\ \mathrm{MW}$.

$\eta = 15/43 \approx 0.35$, то есть около $35\%$. Предел Карно $\eta_{C} = 1 - 220/1800 \approx 0.88$ показывает, что разности температур более чем достаточно; потери возникают из-за того, что выхлоп уносит кинетическую и тепловую энергию, из-за неидеальности компрессора и турбины и из-за того, что тепловая машина обязана отдать холодному воздуху $Q_C = Q_H - W \approx 28\ \mathrm{MW}$.