Период полураспада и основы радиационной защиты

Атомные ядра одного элемента с разным числом нейтронов — это изотопы; некоторые из них нестабильны и самопроизвольно распадаются, испуская альфа- или бета-частицы и гамма-кванты.

Распад каждого отдельного ядра — случайное событие, но для макроскопического образца число распадов в секунду пропорционально числу ядер:

$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N,\qquad N(t)=N_0 e^{-\lambda t}.$$

Период полураспада $T_{1/2}$ — это время, за которое остаётся ровно половина ядер:

$$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda},\qquad N(t)=N_0 2^{-t/T_{1/2}}.$$

Активность $A=\lambda N$ измеряется в беккерелях (Бк), а биологический эффект описывают поглощённой дозой в греях (Гр = Дж/кг) и эффективной дозой в зивертах (Зв).

Защита от излучения опирается на три рычага — время, расстояние и экранирование:

$$I(r)=\frac{I_0 r_0^2}{r^2},\qquad I(x)=I_0 e^{-\mu x},$$

а принцип ALARA требует удерживать дозу на разумно достижимом минимуме.

При альфа-распаде закон сохранения импульса (та же идея, что при столкновениях) делит энергию $Q$ между альфа-частицей и ядром отдачи обратно пропорционально их массам:

$$E_\alpha=Q\frac{M_2}{M_2+m_\alpha},$$

где $M_2$ — масса ядра-дочери.

Образец содержит $N_0=6.0\times10^{20}$ ядер изотопа с периодом полураспада $T_{1/2}=8.0\ \mathrm{d}$. Сколько ядер останется через 24 суток и какова постоянная распада $\lambda$?

Точечный гамма-источник создаёт мощность эквивалентной дозы $40\ \mathrm{\mu Sv/h}$ на расстоянии $2.0\ \mathrm{m}$.

(а) Какова мощность дозы на $5.0\ \mathrm{m}$?

(б) Сколько слоёв свинца с половинным слоем ослабления $d_{1/2}=1.2\ \mathrm{cm}$ нужно, чтобы снизить мощность дозы ниже $1.0\ \mathrm{\mu Sv/h}$?

Ядро $^{226}\mathrm{Ra}$ испытывает альфа-распад: $^{226}\mathrm{Ra}\to{}^{222}\mathrm{Rn}+\alpha$ с полной энергией распада $Q=4.87\ \mathrm{MeV}$. Считая материнское ядро $^{226}\mathrm{Ra}$ покоящимся до распада, найдите кинетические энергии альфа-частицы и ядра отдачи. Объясните, почему этот альфа-излучатель опасен при вдыхании, но легко экранируется снаружи.

Безопасное самообучение: не используйте реальные радиоактивные источники.

1. Откройте симуляцию PhET «Alpha Decay» (или аналогичную модель радиоактивного распада) и запустите её с большим числом ядер (например, 100).
2. Записывайте число нераспавшихся ядер $N$ через равные интервалы времени, пока не останется примерно четверть исходного количества.
3. Постройте график $\ln N$ от времени: точки должны лечь на прямую с наклоном $-\lambda$; найдите $T_{1/2}=\ln 2/\lambda$ и сравните с показанием симуляции.
4. В той же симуляции поставьте между источником и детектором разные материалы (бумага, алюминий, свинец) и разную толщину, затем увеличьте расстояние вдвое. Запишите, что сильнее снижает скорость счёта — расстояние или экран.
5. Сформулируйте три практических правила ALARA для воображаемой лаборатории: меньше времени у источника, больше расстояние, правильный экран.

Показать, что экспоненциальный распад превращается в прямую линию на полулогарифмическом графике, и что мощность дозы точечного источника убывает как $1/r^2$, тогда как экран даёт ослабление по половинам.

Схема из двух панелей.

• Панель (а): график $\ln N$ по вертикали и время $t$ по горизонтали; наклонная прямая с наклоном $-\lambda$; на оси времени отмечены $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$, $3T_{1/2}$, а на оси $\ln N$ — уровни $\ln N_0$, $\ln N_0-\ln 2$ и так далее.
• Панель (б): эскиз точечного источника в центре, две окружности радиусов $r$ и $2r$ с одинаковым числом лучей, проходящих через них; рядом столбики мощности дозы $I$ и $I/4$, а справа — пластина экрана с подписью $d_{1/2}$ и убывающие стрелки $I\to I/2\to I/4$.

В одном банане около 450 мг калия. Доля радиоактивного изотопа $^{40}\text{K}$ в природном калии равна 0,0117 %, а его период полураспада $T_{1/2}=1{,}25\times 10^9$ лет. Активность такого банана примерно 15 Бк, то есть 15 распадов в секунду. Съев один банан, человек получает эффективную дозу около 0,1 мкЗв, тогда как природный фон даёт около 2,4 мЗв за год. Поскольку калий в организме регулируется, активность $^{40}\text{K}$ в теле не падает со временем по этому периоду полураспада.

Здесь работает связь активности с числом ядер: $A=\lambda N$, где $\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$. Огромный период полураспада $1{,}25\times 10^9$ лет даёт крошечную постоянную распада $\lambda\approx 1{,}76\times 10^{-17}\ \text{с}^{-1}$, поэтому за жизнь человека число ядер $N$ практически не меняется. Доза 0,1 мкЗв сравнивается с годовым фоном 2,4 мЗв, что показывает принцип оценки радиационной опасности через дозу.

В подвале дома объёмом $60\ \text{м}^3$ объёмная активность радона $^{222}\text{Rn}$ равна $200\ \text{Бк/м}^3$. Полная активность радона в подвале $A=200\ \text{Бк/м}^3\times 60\ \text{м}^3=12\,000\ \text{Бк}$. Период полураспада радона $T_{1/2}=3{,}82$ суток. Если закрыть подвал, через 3,82 суток останется половина ядер радона, но он непрерывно поступает из грунта. Открыв окно на 30 минут, можно снизить концентрацию в несколько раз за счёт вентиляции, а не только распада.

Период полураспада задаёт скорость уменьшения числа ядер: $N(t)=N_0 2^{-t/T_{1/2}}$. При $t=3{,}82$ суток $N=N_0/2$. Однако в реальном помещении убыль радона определяется и вентиляцией: принцип защиты «время — расстояние — экран» здесь применяется как сокращение времени пребывания и удаление источника (проветривание). Короткий период полураспада радона означает, что он быстро превращается в дочерние изотопы (например, $^{218}\text{Po}$), которые дают основную дозу при вдыхании.

Для контроля сварного шва моста используют источник $^{192}\text{Ir}$ с начальной активностью $A_0=3{,}7\ \text{ТБк}$ ($100\ \text{Ки}$). Его период полураспада $T_{1/2}=73{,}8$ суток. Через 74 суток активность станет $A=1{,}85\ \text{ТБк}$, поэтому время экспозиции для той же плотности снимка нужно увеличить вдвое. На расстоянии $r=1$ м мощность дозы от источника примерно $10\ \text{мЗв/ч}$; на расстоянии $r=20$ м она падает в $20^2=400$ раз и составляет $25\ \text{мкЗв/ч}$. За 8 минут на таком расстоянии доза будет около $25\ \text{мкЗв/ч}\times \frac{8}{60}\ \text{ч}\approx 3{,}3\ \text{мкЗв}$. Слой половинного ослабления свинца для гамма-излучения $^{192}\text{Ir}$ около 12 мм.

Период полураспада определяет активность в любой момент: $A(t)=A_0 2^{-t/T_{1/2}}$. При $t=74$ суток $t/T_{1/2}\approx 1{,}00$, значит $A\approx A_0/2$. Защита строится на трёх принципах: время (сократить экспозицию), расстояние (закон обратных квадратов $I\propto 1/r^2$) и экран (слой половинного ослабления). Расчёт $10/20^2=0{,}025\ \text{мЗв/ч}=25\ \text{мкЗв/ч}$ показывает, как расстояние заменяет тяжёлый свинцовый экран.