Галактики, расширение и модель Большого взрыва

Наблюдения показывают, что почти все галактики вне Местной группы имеют спектры, линии которых смещены в сторону больших длин волн. Для малых красных смещений сдвиг переводят в скорость удаления:

$$z = \frac{\lambda_{\text{набл}} - \lambda_{\text{изл}}}{\lambda_{\text{изл}}}, \qquad v \approx c z .$$

Закон Хаббла связывает эту скорость с расстоянием, полученным по «стандартным свечам» — цефеидам и сверхновым типа Ia:

$$v = H_0 d, \qquad H_0 \approx 70\ \mathrm{км\,с^{-1}\,Mpc^{-1}} .$$

Линейность этой зависимости означает, что расширение однородно: наблюдатель в любой галактике видит удаление всех далёких галактик со скоростью, пропорциональной расстоянию. Если толковать наклон прямой как темп расширения, то величина $t_H = 1/H_0 \approx 14\ \text{млрд лет}$ даёт грубую оценку возраста Вселенной. Продолжая расширение назад во времени, мы приходим к горячему плотному начальному состоянию — модели Большого взрыва, которую подтверждают реликтовое излучение с температурой $T \approx 2.7\ \mathrm{K}$ и измеренная распространённость водорода и гелия. При больших $z$ простая формула $v = cz$ неприменима: нужны релятивистское красное смещение и конкретная космологическая модель.

Спектр галактики имеет красное смещение $z = 0.050$. Принимая $c = 3.0\times 10^{5}\ \mathrm{км/с}$ и $H_0 = 70\ \mathrm{км\,с^{-1}\,Mpc^{-1}}$, найдите скорость удаления по формуле $v \approx cz$ и расстояние по закону Хаббла.

Оцените возраст Вселенной как хаббловское время $t_H = 1/H_0$ при $H_0 = 70\ \mathrm{км\,с^{-1}\,Mpc^{-1}}$. Сначала переведите $H_0$ в единицы СИ ($\mathrm{с^{-1}}$), затем найдите $t_H$ в секундах и годах.

Квазар имеет красное смещение $z = 0.50$. Сначала наивно примените $v = cz$ и закон Хаббла, чтобы получить скорость и расстояние. Затем используйте релятивистское соотношение $v = c\frac{(1+z)^2 - 1}{(1+z)^2 + 1}$ и объясните, почему при таком $z$ линейные формулы дают смещённые результаты.

Модель расширения на растягиваемой ленте (безопасное домашнее измерение). Возьмите эластичную ленту длиной около 30 см. Нанесите на неё метки через каждые 1 см и обозначьте их $A, B, C, \dots$; пусть метка $A$ будет «нашим наблюдателем». Растяните ленту так, чтобы её длина увеличилась, например, в 2 раза, и снова измерьте расстояния между $A$ и каждой меткой.

1. Запишите начальные и конечные расстояния в таблицу.
2. Считая растяжение происходящим за одинаковое «время» $\Delta t$, найдите «скорость удаления» каждой метки как $v = \Delta d / \Delta t$.
3. Постройте график $v$ от начального расстояния $d$ и убедитесь, что точки ложатся на прямую, проходящую через начало координат; её наклон — «постоянная Хаббла» вашей модели.
4. Повторите опыт с меткой $B$ в роли наблюдателя и сравните наклоны. Сформулируйте вывод: любой наблюдатель видит одну и ту же картину разбегания.

Дополнительно: найдите в интернете карту реликтового излучения (например, данные Planck) и опишите, какие неоднородности температуры $\Delta T \sim 10^{-5}\ \mathrm{K}$ на ней видны. Не проводите опытов с нагретыми или светящимися объектами и не направляйте приборы на Солнце.

Показать, что закон Хаббла — это прямая линия на графике «расстояние — скорость», что наклон этой прямой есть $H_0$, и что растяжение сетки расстояний даёт одинаковую картину разбегания для любого наблюдателя.

График плюс схема. Основная панель — диаграмма Хаббла: по горизонтальной оси расстояние $d$ в $\mathrm{Mpc}$, по вертикальной скорость удаления $v$ в $\mathrm{км/с}$; нанесены точки наблюдений галактик, через них проведена прямая наилучшего приближения $v = H_0 d$ с подписанным наклоном $H_0 \approx 70\ \mathrm{км\,с^{-1}\,Mpc^{-1}}$. Врезка в углу — три последовательных кадра растягивающейся сетки: одинаковые квадраты, увеличенные в 1, 1.5 и 2 раза, с отмеченными узлами $A$, $B$, $C$ и векторами $v_B < v_C$, длины которых пропорциональны расстоянию до $A$. Отдельная маленькая врезка — карта реликтового излучения в псевдоцвете с масштабной полосой $\pm 200\ \mu\mathrm{K}$.

На стадионе тренировочный радар работает на частоте $f_0=24{,}15$ ГГц. Мяч летит к воротам со скоростью $v=30$ м/с. Радар измеряет сдвиг частоты $\Delta f = 2 v f_0/c$. При $c=3{,}00\cdot10^8$ м/с получаем $\Delta f = 2\cdot30\cdot24{,}15\cdot10^9/(3{,}00\cdot10^8) \approx 4{,}83\cdot10^3$ Гц $=4{,}83$ кГц. Приёмник смешивает отражённую волну с исходной и выделяет эту разностную частоту.

Сдвиг частоты — это эффект Доплера: относительное движение меняет наблюдаемую частоту. В космологии тот же принцип применяют к свету: красное смещение $z=\Delta\lambda/\lambda$. Хаббл обнаружил, что линии в спектрах галактик смещены в длинноволновую сторону, и связал это с удалением галактик и расширением пространства.

Машина скорой помощи удаляется со скоростью $v=30$ м/с. Частота сирены $f_0=700$ Гц, скорость звука $c_s=343$ м/с. Наблюдаемая частота $f' = f_0 c_s/(c_s+v) = 700\cdot343/373 \approx 644$ Гц, то есть тон понижается примерно на $56$ Гц.

Наблюдаемая частота и длина волны зависят от относительной скорости источника и наблюдателя. В астрофизике спектральные линии галактик смещаются в красную сторону; по величине $z$ для малых $z$ оценивают скорость удаления $v \approx c z$, а затем проверяют закон Хаббла $v=H_0 d$.

Прямоугольный кусок теста имеет длину $10$ см. Две изюмины находятся на расстоянии $3{,}0$ см друг от друга. Через $30$ мин тесто становится длиной $15$ см, и расстояние между изюминами — $4{,}5$ см. Средняя скорость расхождения изюмин: $(4{,}5-3{,}0)\text{ см}/(1800\text{ с}) \approx 8{,}3\cdot10^{-4}$ см/с. Отношение $v/d \approx (8{,}3\cdot10^{-4})/(3{,}0) \approx 2{,}8\cdot10^{-4}$ с$^{-1}$.

Это однородное расширение: все расстояния увеличиваются в одинаковое число раз, поэтому далёкие изюмины «убегают» быстрее близких. В модели Большого взрыва пространство растягивается между галактиками; сами галактики не раздуваются, а закон Хаббла $v=H_0 d$ следует из масштабного фактора $a(t)$.