Электромагнитное поле как единая модель

До Максвелла электрические и магнитные явления описывались отдельными законами. Опыты Фарадея показали, что изменяющийся магнитный поток создаёт вихревое электрическое поле, то есть изменяющееся $\vec{B}$ порождает $\vec{E}$. Максвелл добавил симметричное утверждение: изменяющееся электрическое поле эквивалентно току смещения $I_d=\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$ и само порождает магнитное поле. Поэтому $\vec{E}$ и $\vec{B}$ нельзя рассматривать по отдельности: это две стороны одного электромагнитного поля, и их взаимное порождение делает возможным существование свободной волны без зарядов и токов. В вакууме такая волна распространяется со скоростью $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\approx 3{,}00\times10^{8}$ м/с, что совпало с измеренной скоростью света и стало главным доводом в пользу единой модели. В этой модели $\vec{E}$ и $\vec{B}$ переходят друг в друга при переходе в другую инерциальную систему отсчёта, поэтому само деление на «электрическое» и «магнитное» зависит от наблюдателя.

Оцените скорость электромагнитной волны в вакууме по формуле $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$, приняв $\mu_0=4\pi\times10^{-7}$ Гн/м и $\varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}$ Ф/м. Сравните результат с табличным значением $c=2{,}998\times10^{8}$ м/с.

В вакууме вдоль оси $z$ распространяется плоская электромагнитная волна с $E_x=E_0\sin(kz-\omega t)$, где $E_0=300$ В/м. Найдите амплитуду и направление магнитного поля волны и объясните, почему такая волна не затухает в пустоте.

Круглый конденсатор радиуса $R=5{,}0$ см заряжается током $I=2{,}0$ А. Считая поле между пластинами однородным, найдите индукцию магнитного поля на расстоянии $r=R/2$ от оси и на краю пластин $r=R$, где снаружи работает закон Ампера для провода с током $I$. Объясните, что здесь демонстрирует единая модель поля.

Самопроверка на симуляции (безопасно, без приборов). Откройте симуляцию с одиночным зарядом, например PhET «Radio Waves & Electromagnetic Fields».

1. Поместите заряд в покой. Зафиксируйте: видно только $\vec{E}$, магнитного поля нет.
2. Заставьте заряд колебаться. Опишите, что появилось вокруг: как выглядят линии $\vec{E}$ и $\vec{B}$ и куда уходит волна.
3. Измерьте по рисунку угол между $\vec{E}$ и $\vec{B}$ и между каждым из них и направлением распространения; проверьте прямоугольность.
4. Увеличьте частоту колебаний вдвое и отметьте, как изменилась длина волны; сверьте с $\lambda=c/f$.
5. Сформулируйте вывод одной фразой: почему поле вдали от заряда продолжает существовать.

Дополнительно (по желанию, безопасно). Соберите цепь из элемента 1,5 В, куска изолированного провода и компаса: при замыкании на 2–3 с стрелка отклоняется. Работайте только с батарейным питанием, не с сетью; провод может нагреваться, размыкайте цепь сразу.

Показать, что электрическое и магнитное поля — не два независимых объекта, а две взаимно перпендикулярные составляющие одной распространяющейся волны, которые поддерживают друг друга.

Схема в аксонометрии: ось $z$ — направление распространения; синусоида $\vec{E}$ в плоскости $xz$ с амплитудой $E_0$; синусоида $\vec{B}$ в плоскости $yz$ с амплитудой $B_0=E_0/c$; стрелки $\vec{E}$, $\vec{B}$ и $\vec{v}$ взаимно перпендикулярны; подписи «$E/B=c$» и одна длина волны $\lambda$ между двумя соседними максимумами.

Телефон находится в $3\ \text{m}$ от Wi‑Fi роутера, излучающего на частоте $2.4\ \text{GHz}$. Ток в антенне роутера совершает $2.4\times10^9$ колебаний в секунду, поэтому один период равен $T = 1/(2.4\times10^9\ \text{Hz}) \approx 4.2\times10^{-10}\ \text{s}$. Волна проходит $3\ \text{m}$ до телефона со скоростью $c = 3.0\times10^8\ \text{m/s}$ и приходит через $t = 3.0\ \text{m} / (3.0\times10^8\ \text{m/s}) = 1.0\times10^{-8}\ \text{s}$. Длина волны в воздухе $\lambda = c/f = (3.0\times10^8\ \text{m/s})/(2.4\times10^9\ \text{Hz}) = 0.125\ \text{m} = 12.5\ \text{cm}$. Телефон улавливает колеблющиеся электрическое и магнитное поля волны.

Это действие единого электромагнитного поля Максвелла. Колеблющийся ток в антенне роутера создаёт переменное электрическое поле $E$ вокруг антенны, которое порождает переменное магнитное поле $B$; это переменное $B$ в свою очередь порождает переменное $E$, поэтому пара распространяется как самоподдерживающаяся волна без какой-либо среды. Плотность энергии, переносимая волной, равна $u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$, что показывает: $E$ и $B$ — две неразделимые компоненты одного поля. Антенна телефона откликается на локальные $E$ и $B$ этого единого поля.

Велосипед движется со скоростью $18\ \text{km/h} = 5.0\ \text{m/s}$. Радиус колеса $0.35\ \text{m}$, поэтому колесо делает около $5.0/(2\pi \times 0.35) \approx 2.3$ оборота в секунду. Боковое динамо повышает эту частоту так, что его постоянный магнит вращается с частотой $20\ \text{Hz}$ рядом с катушкой из $N = 8000$ витков площадью $A = 1.5\ \text{cm}^2 = 1.5\times10^{-4}\ \text{m}^2$. Магнитное поле через катушку имеет амплитуду $B_0 = 0.20\ \text{T}$. Пиковая наведённая ЭДС равна $\mathcal{E}_0 = N A B_0 \omega$, где $\omega = 2\pi f = 2\pi(20\ \text{Hz}) \approx 126\ \text{rad/s}$, что даёт $\mathcal{E}_0 \approx 8000 \times 1.5\times10^{-4} \times 0.20 \times 126 \approx 6.0\ \text{V}$. Динамо отдаёт около $3\ \text{W}$ в фару.

Вращающийся магнит изменяет магнитный поток через катушку. Согласно единому электромагнитному полю, переменное магнитное поле $B$ сопровождается циркулирующим электрическим полем $E$; это наведённое $E$ создаёт ток, зажигающий лампу. То же связанное поле объясняет, почему динамо и электромотор — один и тот же прибор, работающий в противоположных направлениях: ток создаёт $B$, а переменное $B$ создаёт $E$. Здесь единая модель заменяет отдельные «магнитные» и «электрические» эффекты одним полем, компоненты которого переходят друг в друга.

Индукционная плита имеет катушку под стеклом. По катушке течёт переменный ток частотой $25\ \text{kHz}$, и плита передаёт кастрюле мощность $2000\ \text{W}$. Быстро меняющееся магнитное поле $B$ (амплитуда около $0.01\ \text{T}$ у дна кастрюли) наводит вихревые токи в ферромагнитном дне кастрюли. Чтобы нагреть $1.0\ \text{L}$ воды от $20\ ^\circ\text{C}$ до $100\ ^\circ\text{C}$, требуется $Q = mc\Delta T = (1.0\ \text{kg})(4186\ \text{J kg}^{-1}\text{K}^{-1})(80\ \text{K}) = 3.35\times10^5\ \text{J}$. При мощности $2000\ \text{W}$ это занимает $t = Q/P = 3.35\times10^5/2000 \approx 168\ \text{s}$, то есть около $2.8\ \text{min}$, что совпадает с реальной плитой. Стекло остаётся холодным, потому что оно не проводит ток.

Переменный ток катушки создаёт переменное во времени магнитное поле $B$. Поскольку $B$ меняет направление $25\,000$ раз в секунду, величина $dB/dt$ велика, и единое электромагнитное поле требует наличия сопровождающего электрического поля $E$ внутри кастрюли. Это $E$ создаёт вихревые токи, которые выделяют энергию в виде тепла. Здесь напрямую используется единая модель: электрическое поле появляется там, где нет ни батареи, ни провода, только потому, что магнитное поле меняется. Это также показывает, что $E$ и $B$ не независимы, а представляют собой две стороны одного поля.