Сохранение электрического заряда и закон Кулона

Электрический заряд — скалярная величина, которая бывает положительной или отрицательной; в изолированной системе алгебраическая сумма зарядов сохраняется: $\sum q_i = \mathrm{const}$. Поэтому при трении или контакте проводников заряд не создаётся и не исчезает, а только перераспределяется между телами. Заряд дискретен: $q = Ne$, где $e \approx 1.60\cdot10^{-19}\ \mathrm{C}$, но в макроскопических задачах его удобно считать непрерывным. Неподвижные точечные заряды взаимодействуют с силой Кулона, модуль которой $F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}, \qquad k \approx 8.99\cdot10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.$ Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. По третьему закону Ньютона силы, действующие на два заряда, равны по модулю и противоположны по направлению, а при нескольких зарядах используют принцип суперпозиции и диаграмму свободного тела — то есть те же приёмы, что и в механике.

Два точечных заряда $q_1 = +2.0\ \mu\mathrm{C}$ и $q_2 = -3.0\ \mu\mathrm{C}$ находятся в вакууме на расстоянии $r = 0.30\ \mathrm{m}$. Найдите модуль и направление силы Кулона, действующей на заряд $q_1$.

Два одинаковых металлических шара имеют заряды $q_1 = +5.0\ \mu\mathrm{C}$ и $q_2 = -1.0\ \mu\mathrm{C}$. Шары привели в соприкосновение и затем развели на расстояние $r = 0.20\ \mathrm{m}$. Найдите заряд каждого шара после соприкосновения и модуль силы их взаимодействия.

Три точечных заряда лежат на оси $x$: $q_1 = +2.0\ \mu\mathrm{C}$ при $x = 0$, $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ при $x = 0.10\ \mathrm{m}$ и $q_3 = +4.0\ \mu\mathrm{C}$ при $x = 0.30\ \mathrm{m}$. Найдите равнодействующую силу, действующую на заряд $q_2$, и укажите её направление.

Безопасный план: только компьютерная симуляция. Откройте PhET «Закон Кулона» (phet.colorado.edu) и выполните три шага.

1. Поставьте два точечных заряда и запишите силу $F$ при расстояниях $r = 0.5, 1.0, 2.0$ (условные единицы). Проверьте, что при удвоении $r$ сила уменьшается в 4 раза, то есть $F \propto 1/r^2$.
2. Поменяйте знак одного заряда и убедитесь, что сила меняет направление на противоположное (отталкивание $\leftrightarrow$ притяжение), а её модуль не меняется.
3. Задайте заряды $+5\ \mu\mathrm{C}$ и $-1\ \mu\mathrm{C}$ и заранее рассчитайте, каким станет заряд каждого одинакового шара после соприкосновения. Затем выставьте в симуляции полученные заряды и проверьте свой расчёт по силе.

Заполните таблицу «$r$ — $F$ — $F r^2$» и сформулируйте вывод. Настоящие высоковольтные источники не используйте: все наблюдения проводите в симуляции.

Показать, что сила Кулона направлена вдоль линии, соединяющей точечные заряды, и что силы, действующие на два заряда, равны по модулю и противоположны по направлению (третий закон Ньютона).

Схема: два точечных заряда $+q_1$ и $-q_2$ на одной прямой; между ними показан отрезок длиной $r$; две стрелки одинаковой длины — $\vec F_{12}$ приложена к $q_1$ и направлена к $q_2$, $\vec F_{21}$ приложена к $q_2$ и направлена к $q_1$; рядом записана формула $F = k|q_1 q_2|/r^2$.

Аккумулятор смартфона ёмкостью $3{,}0\ \text{А}\cdot\text{ч}$ заряжается током $2{,}0\ \text{А}$ в течение $1{,}5\ \text{ч}$ от блока питания мощностью $10\ \text{Вт}$. Через провод за это время проходит заряд $Q = I t = 2{,}0 \cdot 5400 = 10\,800\ \text{Кл}$ — это примерно $6{,}8\cdot10^{22}$ электронов.

Это прямой счёт на сохранение заряда: блок питания не создаёт электроны — сколько электронов уходит с одного вывода аккумулятора, столько же приходит на другой, поэтому заряд замкнутой цепи остаётся равным нулю. Формула $Q = It$ — это учёт переноса уже существующего заряда, а не его рождения.

После $5\ \text{с}$ трения о волосы шарик получает заряд $-2{,}0\cdot10^{-7}\ \text{Кл}$. Поднесём его к натёртой пластиковой палочке с зарядом $+2{,}0\cdot10^{-7}\ \text{Кл}$ на расстояние $2{,}0\ \text{см} = 0{,}020\ \text{м}$: $F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{4{,}0\cdot10^{-14}}{4{,}0\cdot10^{-4}} \approx 0{,}90\ \text{Н}.$ Это примерно вес плитки шоколада массой $90\ \text{г}$.

Здесь работает закон Кулона: сила пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, а $k = 8{,}99\cdot10^{9}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2$. Знаки зарядов задают только направление силы — при $q_1 q_2 < 0$ это притяжение, — а расстояние $r$ отсчитывается между центрами заряженных тел.

Нижняя часть грозового облака несёт заряд $-15\ \text{Кл}$, а на участке земли под ним оказывается $+15\ \text{Кл}$. Считая облако и землю точечными зарядами на высоте $r = 800\ \text{м}$, получаем $F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} = 8{,}99\cdot10^{9}\cdot\frac{225}{6{,}4\cdot10^{5}} \approx 3{,}2\cdot10^{6}\ \text{Н}.$

Сценарий проверяет сразу две идеи темы. Величина силы притяжения между облаком и землёй считается по закону Кулона. А появление $+15\ \text{Кл}$ на земле — следствие сохранения заряда: эти кулоны не созданы, а лишь перераспределены индукцией, и суммарный заряд системы облако–земля остаётся неизменным вплоть до разряда, когда заряд просто перетекает по каналу молнии.