Постулаты Эйнштейна и границы классической механики

Классическая механика молчаливо опирается на два допущения: время абсолютно ($t' = t$), а скорости складываются просто, $u = u' + v$ (галилеевская относительность). Однако электромагнетизм Максвелла предсказывает волны, распространяющиеся в вакууме со скоростью $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$, и эта скорость задана константами природы, а не движением источника; спектр излучения показывает, что при движении источника меняется частота (линии смещаются), но не скорость распространения. Эйнштейн снял противоречие двумя постулатами: (1) принцип относительности — все инерциальные системы отсчёта равноправны для всех законов физики, а не только для механики; (2) постоянство скорости света — любой инерциальный наблюдатель измеряет одну и ту же скорость света в вакууме $c$ независимо от движения источника и наблюдателя. Вместе эти постулаты требуют преобразований Лоренца вместо галилеевских и приводят к замедлению времени, сокращению длин и релятивистскому сложению скоростей $u = \dfrac{u' + v}{1 + u'v/c^2}$. Классическая механика не ошибочна: она является пределом малых скоростей $v \ll c$, где $u'v/c^2 \to 0$ и галилеевская формула восстанавливается. Границы классической механики проявляются там, где скорости приближаются к $c$: быстрые частицы, точная синхронизация времени (GPS) и само распространение света.

Космический корабль удаляется от Земли со скоростью $v = 0.5c$ и запускает вперёд зонд со скоростью $u' = 0.5c$ относительно корабля. Найдите скорость зонда относительно Земли по релятивистской формуле и сравните её с галилеевским ответом.

Две ступени разгоняют аппарат: относительно Земли ступень движется со скоростью $v = 0.3c$, от неё отделяется модуль со скоростью $u' = 0.4c$ в том же направлении. Найдите скорость модуля относительно Земли и относительную ошибку, которую дала бы классическая механика. Можно ли в этой задаче пользоваться галилеевским сложением?

Звезда удаляется от наблюдателя со скоростью $v = 0.3c$ и излучает свет, который приходит к наблюдателю. В системе звезды свет движется к наблюдателю со скоростью $u' = -c$. Что предсказывает галилеевское сложение и что даёт релятивистская формула? Согласуется ли ответ со спектром: линии в спектре звезды смещены в длинноволновую область примерно в 1.36 раза по длине волны?

1. Откройте доступную интерактивную симуляцию по специальной теории относительности (световые часы или релятивистский сумматор скоростей) либо электронную таблицу.
2. Постройте таблицу: при фиксированном $u' = 0.5c$ и $v/c$ от $0.01$ до $0.99$ с шагом $0.01$ вычислите

$$u_{\text{рел}} = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}}, \qquad u_{\text{гал}} = u' + v, \qquad \delta = \frac{|u_{\text{гал}} - u_{\text{рел}}|}{u_{\text{рел}}}.$$

3. Постройте график $\delta$ от $v/c$; отметьте точку, где $\delta = 1\,\%$, и точку, где $u_{\text{гал}} = c$. Проверьте, что при $v \to c$ величина $u_{\text{рел}} \to c$, а $u_{\text{гал}} \to 1.5c$ (растёт линейно с $v$ и превышает $c$ при $v > 0.5c$).
4. Сформулируйте вывод: до каких $v/c$ классическая формула даёт ошибку менее 1 % и почему для света её использовать нельзя.

Безопасность. Достаточно численного эксперимента и симуляции. Не проводите опыты с источниками излучения, вакуумными трубками под высоким напряжением или быстрыми частицами.

Показать, где галилеевское сложение скоростей нарушает второй постулат и как релятивистская формула удерживает скорость ниже предела $c$.

График: по горизонтальной оси $u'/c$ в пределах от $-1$ до $1$, по вертикальной $u/c$ при фиксированном $v = 0.5c$. Две кривые — прямая $u_{\text{гал}} = u' + v$ (при $u' > 0.5c$ уходит выше уровня $c$) и кривая $u = \frac{u' + v}{1 + u'v/c^2}$, которая при $u' = c$ приходит в точку $u = c$ (а при $u' = -c$ — в точку $u = -c$) и не выходит за световой предел. Отметьте на графике точки примеров: $u' = 0.5c$ даёт $u = 0.8c$, а $u' = c$ даёт $u = c$ при любом $v$.

Спутник GPS идёт по орбите на высоте 20 200 км со скоростью около $3.9\times 10^3\ \mathrm{m/s}$ относительно земли. Его радиосигнал проходит $2.02\times 10^7\ \mathrm{m}$ до вашего телефона за $t = d/c \approx 0.067\ \mathrm{s}$, и приёмник превращает это время распространения в расстояние с точностью до нескольких метров.

Здесь работает второй постулат: в системе отсчёта приёмника сигнал идёт ровно со скоростью $c = 2.998\times 10^8\ \mathrm{m/s}$ независимо от движения спутника. Галилеевское правило $u' = c \pm 3.9\times 10^3\ \mathrm{m/s}$ сдвинуло бы дальность на $\pm 3.9\times 10^3 \times 0.067\ \mathrm{s} \approx 260\ \mathrm{m}$ — намного больше тех нескольких метров, которые реально даёт измерение времени распространения.

Поезд идёт со скоростью $30\ \mathrm{m/s}$ (108 км/ч) навстречу гудку, который звучит в неподвижном воздухе. Пассажир измеряет скорость приходящего звука как $343 + 30 = 373\ \mathrm{m/s}$ — обычная галилеевская сумма, изменение на $8.7\%$. Затем тот же пассажир измеряет свет от лампы: классическое сложение дало бы $c + 30\ \mathrm{m/s}$, сдвиг всего в $1\times 10^{-7}$ от $c$, слишком малый, чтобы его заметить. Решающий опыт использовал орбитальное движение Земли, $v = 3.0\times 10^4\ \mathrm{m/s}$, то есть $v/c = 1.0\times 10^{-4}$, что интерферометр Майкельсона мог разрешить, — и никакого изменения скорости света обнаружено не было.

Классическая механика построена на сложении скоростей, и для звука это правило выполняется: $373\ \mathrm{m/s}$ у пассажира — именно то, что предсказывает принцип относительности Галилея. Второй постулат утверждает, что свет этому правилу не подчиняется: лампа и звезда дают одно и то же $c$ у любого инерциального наблюдателя, поэтому системы отсчёта, в которой свет покоится, не существует — и вместе с ней рушится классическая картина абсолютного пространства, в котором распространяется свет.

Космические лучи рождают мюоны примерно на высоте $10\ \mathrm{km}$ над землёй. Мюон летит со скоростью $0.998c = 2.99\times 10^8\ \mathrm{m/s}$ и имеет среднее время жизни $2.2\ \mu\mathrm{s}$. Классическая кинематика даёт средний путь $2.99\times 10^8 \times 2.2\times 10^{-6} \approx 660\ \mathrm{m}$, так что до земли должна доживать лишь доля $e^{-10000/660} \approx 3\times 10^{-7}$. На самом деле около одного мюона пересекает каждый квадратный сантиметр земли каждую минуту.

Это граница классической механики, видимая в одном измерении. При галилеевских преобразованиях ни время жизни $2.2\ \mu\mathrm{s}$, ни $10\ \mathrm{km}$ воздуха не меняются при переходе между системами отсчёта, поэтому у классической кинематики нет способа объяснить наблюдаемый поток: само «время» и «длина» должны зависеть от системы отсчёта, и постулаты — это минимальные предположения, которые такую зависимость дают.