Прямая и обратная задачи механики

Движение материальной точки задаётся радиус-вектором $\vec{r}(t)$; мгновенная скорость и ускорение определяются производными: $\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt},\qquad \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}.$ В прямой задаче механики закон движения $\vec{r}(t)$ известен, и требуется найти $\vec{v}(t)$ и $\vec{a}(t)$ дифференцированием. В обратной задаче известны ускорение $\vec{a}(t)$ (например, из силы) и начальные условия $\vec{r}(0)$ и $\vec{v}(0)$, а требуется восстановить $\vec{v}(t)$ и $\vec{r}(t)$ интегрированием. При интегрировании появляются постоянные, которые фиксируются начальными условиями: $\vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\int_0^t \vec{a}(\tau)\,d\tau,\qquad \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\int_0^t \vec{v}(\tau)\,d\tau.$ Поэтому прямая и обратная задачи связаны операциями дифференцирования и интегрирования, а проверка решения выполняется обратным действием.

Точка движется по закону $\vec{r}(t)=(2t^2)\,\hat{\imath}+(3t)\,\hat{\jmath}$ (в единицах СИ). Найдите $\vec{v}(t)$ и $\vec{a}(t)$, затем вычислите их при $t=2$ с.

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0=20$ м/с с высоты $y_0=0$. Ускорение $\vec{a}=-g\,\hat{\jmath}$, где $g=10$ м/с². Найдите $v(t)$ и $y(t)$, а также время подъёма до максимальной высоты.

Ускорение частицы $\vec{a}(t)=(6t)\,\hat{\imath}-4\,\hat{\jmath}$ м/с². В момент $t=0$: $\vec{v}(0)=\hat{\imath}+2\,\hat{\jmath}$ м/с, $\vec{r}(0)=\vec{0}$. Найдите $\vec{v}(t)$ и $\vec{r}(t)$ и проверьте результат дифференцированием.

Безопасный план самостоятельной работы: используйте интерактивную симуляцию движения тела, брошенного под углом к горизонту (например, PhET), или электронную таблицу. Не запускайте предметы в помещении. В симуляции задайте начальные $\vec{r}(0)$ и $\vec{v}(0)$, включите постоянное ускорение и выгрузите таблицу значений $x(t), y(t), v_x(t), v_y(t)$. Численно продифференцируйте координаты и сравните с готовыми скоростями; затем численно проинтегрируйте ускорение и сравните с готовыми координатами. Сделайте вывод, какая процедура решает прямую задачу, а какая — обратную.

Показать связь прямой и обратной задач: дифференцирование переводит закон движения в скорость и ускорение, а интегрирование с начальными условиями возвращает скорость и положение.

Схема-поток: три блока $\vec{r}(t)\to\vec{v}(t)\to\vec{a}(t)$ соединены стрелками «дифференцировать»; обратные стрелки подписаны «интегрировать» и «+ начальные условия». Рядом — график $x(t), v_x(t), a_x(t)$ для примера $x(t)=2t^2$, где видно, что $v_x$ — наклон графика $x(t)$, а $a_x$ — наклон графика $v_x(t)$.

Автомобиль массой $1200$ кг едет по сухому асфальту со скоростью $20$ м/с. Тормоза создают постоянную силу $9000$ Н, направленную против движения. Сила известна, а движение надо найти. Ускорение $a=F/m=9000/1200=7{,}5$ м/с$^2$; время до остановки $t=v_0/a=20/7{,}5\approx 2{,}7$ с; тормозной путь $s=v_0^2/(2a)=400/15\approx 27$ м.

Это обратная задача механики: из второго закона Ньютона $\vec a=\vec F/m$ находят ускорение, а затем при постоянном $a$ интегрируют его дважды и получают $v(t)=v_0-at$ и $x(t)=x_0+v_0t-\frac{a t^2}{2}$. Именно эти две формулы дают числа $t$ и $s$ выше.

Смартфон, закреплённый на руке бегуна, записывает координату вдоль дорожки каждую секунду: $0$, $2$, $6$, $12$ м. Средние скорости на последовательных секундах равны $2$, $4$ и $6$ м/с, то есть скорость растёт на $2$ м/с за секунду. Масса бегуна $70$ кг, значит равнодействующая сила $F=ma=70\cdot 2=140$ Н.

Это прямая задача механики: по измеренной зависимости $x(t)$ находят $v=\Delta x/\Delta t$, затем $a=\Delta v/\Delta t$, и только после этого второй закон Ньютона превращает найденное ускорение в силу $F=ma$.

Мяч массой $0{,}43$ кг бьют со скоростью $20$ м/с под углом $30^\circ$ к земле; удар длится $0{,}02$ с. За время удара $a=20/0{,}02=1000$ м/с$^2$, то есть сила ноги $F=0{,}43\cdot 1000=430$ Н. Дальше мяч летит только под действием силы тяжести: время полёта $t=2v_0\sin\theta/g=2\cdot 20\cdot 0{,}5/9{,}8\approx 2{,}0$ с, дальность $R=v_0^2\sin 2\theta/g=400\cdot 0{,}866/9{,}8\approx 35$ м, высшая точка $h=(v_0\sin\theta)^2/(2g)=100/19{,}6\approx 5{,}1$ м.

Обе задачи в одном эпизоде: изменение скорости за время удара — прямая задача, дающая силу $F=m\Delta v/\Delta t$; полёт с постоянным ускорением $\vec a=-g\vec e_y$ — обратная задача, где компоненты $v_x=v_0\cos\theta$ и $v_y=v_0\sin\theta-gt$ интегрируются отдельно и дают $t$, $R$ и $h$.