Деформация, модуль Юнга и тепловое расширение

Деформация — это изменение формы или размеров тела под действием внешних сил или нагрева. Для стержня начальной длиной $L_0$ и площадью поперечного сечения $A$ вводят напряжение $\sigma = F/A$ и относительное удлинение $\varepsilon = \Delta L/L_0$; в упругой области они связаны законом Гука $\sigma = E\varepsilon$, где $E$ — модуль Юнга (измеряется в паскалях). Модуль Юнга — характеристика материала: чем он больше, тем труднее растянуть стержень на ту же долю длины. При нагреве на $\Delta T$ длина меняется как $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, где $\alpha$ — коэффициент линейного теплового расширения (в $1/\text{K}$), а объём растёт как $\Delta V \approx 3\alpha V_0 \Delta T$.

Если нагретому стержню не дают расширяться, возникает термическое напряжение $\sigma = E\alpha\Delta T$ — это та же связь $\sigma = E\varepsilon$, только $\varepsilon$ задано тепловым расширением, а не внешней силой. За пределом упругости закон Гука нарушается, и после снятия нагрузки остаётся остаточная (пластическая) деформация.

Стальная проволока длиной $L_0 = 2.00$ м и площадью поперечного сечения $A = 1.0\ \text{мм}^2 = 1.0\cdot 10^{-6}\ \text{м}^2$ растягивается силой $F = 200$ Н. Модуль Юнга стали $E = 2.0\cdot 10^{11}$ Па. Найдите напряжение $\sigma$, относительное удлинение $\varepsilon$ и абсолютное удлинение $\Delta L$.

Алюминиевый стержень длиной $L_0 = 5.00$ м при температуре $20\ ^\circ\text{C}$ нагревают до $120\ ^\circ\text{C}$. Коэффициент линейного расширения алюминия $\alpha = 23\cdot 10^{-6}\ \text{K}^{-1}$. Найдите изменение длины стержня и его конечную длину. На сколько изменится объём, если начальный объём $V_0 = 2.0\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3$?

Стальной рельс длиной $L_0 = 25.0$ м уложен с зазором $d = 6.0$ мм. $\alpha = 12\cdot 10^{-6}\ \text{K}^{-1}$, $E = 200\ \text{ГПа}$, предел упругости $250$ МПа. В жаркий день рельс нагревается на $\Delta T = 30$ К. (а) Насколько он удлинился бы свободно? (б) Какое напряжение возникло бы в рельсе после закрытия зазора? (в) Опасен ли этот нагрев?

План самостоятельной работы с интерактивной симуляцией (без нагрева и без подвешивания грузов вручную).

1. Откройте симуляцию упругой деформации (например, «Hooke's Law»-типа), закрепите виртуальную проволоку и задайте её длину $L_0$ и площадь $A$.
2. Увеличивайте силу $F$ малыми шагами, записывайте $F$ и удлинение $\Delta L$ в таблицу. Вычислите $\sigma = F/A$ и $\varepsilon = \Delta L/L_0$.
3. Постройте график $\sigma$ от $\varepsilon$. Линейный участок имеет наклон $E$; найдите $E$ как наклон и сравните с табличным значением для металла проволоки. Отметьте точку, где линейность нарушается — это предел упругости.
4. Во второй части включите модель теплового расширения: задайте $L_0$, $\alpha$ и меняйте температуру. Записывайте $\Delta T$ и $\Delta L$, постройте график $\Delta L$ от $\Delta T$ и проверьте, что наклон равен $\alpha L_0$.
5. Наконец, включите в симуляции жёсткое закрепление концов и убедитесь, что при нагреве возникает напряжение $\sigma = E\alpha\Delta T$, а длина не меняется.

Безопасность. Нагревание металлических стержней, открытое пламя, горячая вода и подвешивание тяжёлых грузов в домашних условиях опасны: все наблюдения выполняйте в симуляции. Реальные опыты — только под руководством преподавателя в лаборатории.

Показать два ключевых факта: (1) наклон линейного участка графика $\sigma(\varepsilon)$ равен модулю Юнга $E$, а за пределом упругости линейность теряется; (2) при нагреве длина растёт на $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$, а при жёстком закреплении вместо удлинения появляется напряжение $E\alpha\Delta T$.

Схема из двух панелей.

• Панель A — график. По горизонтальной оси $\varepsilon$, по вертикальной $\sigma$. Прамая линия из начала координат с наклоном $E$; точка P — предел упругости; за ней кривая выполаживается (пластическая область). Рядом подпись: $E = \sigma/\varepsilon$, $[E] = \text{Па}$.
• Панель B — эскиз стержня. Сверху стержень длиной $L_0$ при температуре $T_0$; снизу тот же стержень при $T_0 + \Delta T$ с заштрихованным удлинением $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. Справа — вариант «жёсткое закрепление»: те же опоры, стрелки внутрь и подпись $\sigma = E\alpha\Delta T$.

Статическая верёвка длиной $L_0 = 30\ \text{m}$ и диаметром $10\ \text{mm}$ имеет площадь поперечного сечения $A = \pi r^2 = \pi (0.005\ \text{m})^2 \approx 7.9\times10^{-5}\ \text{m}^2$. Скалолаз массой $m = 80\ \text{kg}$ висит на ней неподвижно. Модуль Юнга нейлона $E \approx 3\times10^{9}\ \text{Pa}$. Натяжение верёвки $F = mg \approx 80 \cdot 9.8 \approx 784\ \text{N}$, а удлинение $\Delta L = \frac{F L_0}{E A} \approx \frac{784 \cdot 30}{3\times10^{9} \cdot 7.9\times10^{-5}} \approx 0.10\ \text{m} \approx 10\ \text{cm}$.

Сценарий проверяет закон Гука в форме $\sigma = E\varepsilon$, где $\sigma = F/A$ — механическое напряжение, а $\varepsilon = \Delta L/L_0$ — относительное удлинение. Здесь $\sigma \approx 9.9\times10^{6}\ \text{Pa}$ и $\varepsilon \approx 3.3\times10^{-3}$, их отношение и есть модуль Юнга $E = \sigma/\varepsilon = 3\times10^{9}\ \text{Pa}$. Деформация около $0.3\%$ остаётся упругой: после снятия нагрузки верёвка возвращает прежнюю длину.

Рельс длиной $L_0 = 25\ \text{m}$ уложен при $15\ ^\circ\text{C}$, а летом на солнце нагревается до $55\ ^\circ\text{C}$, то есть на $\Delta T = 40\ \text{K}$. Коэффициент линейного расширения стали $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ \text{K}^{-1}$, модуль Юнга стали $E = 2.1\times10^{11}\ \text{Pa}$. Удлинение рельса $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T = 1.2\times10^{-5} \cdot 25 \cdot 40 = 0.012\ \text{m} = 12\ \text{mm}$.

Сценарий использует закон линейного теплового расширения $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ и его следствие для случая, когда расширение запрещено: $\sigma = E\alpha\Delta T$. При $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ \text{K}^{-1}$, $\Delta T = 40\ \text{K}$ и $E = 2.1\times10^{11}\ \text{Pa}$ напряжение сжатия достигает $1.0\times10^{8}\ \text{Pa} = 100\ \text{MPa}$ — именно поэтому между рельсами оставляют зазоры порядка $12\ \text{mm}$ на каждые $25\ \text{m}$.

Алюминиевая крышка диаметром $d_0 = 6.0\ \text{cm}$ плотно завинчена на стеклянной банке. Крышку обдают горячей водой, и её температура растёт на $\Delta T = 60\ \text{K}$. Коэффициенты линейного расширения: алюминий $\alpha_{Al} = 2.3\times10^{-5}\ \text{K}^{-1}$, стекло $\alpha_{glass} = 0.9\times10^{-5}\ \text{K}^{-1}$. Диаметр крышки увеличивается на $\Delta d = \alpha_{Al} d_0 \Delta T \approx 0.083\ \text{mm}$, а диаметр горлышка банки — только на $\approx 0.032\ \text{mm}$.

Сценарий применяет ту же формулу линейного расширения $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ к двум разным материалам и показывает, что решает разность коэффициентов $\alpha$: разница диаметров порядка $0.05\ \text{mm}$ ослабляет натяжение резьбы, трение уменьшается — и крышка отворачивается. Здесь же видно, почему стеклянную посуду нельзя резко охлаждать: разные $\alpha$ и модуль Юнга создают внутренние напряжения $\sigma = E\alpha\Delta T$, от которых стекло трескается.