Волны де Бройля и принцип неопределённости

Импульс $p$ — центральная величина: именно он, а не скорость или масса по отдельности, определяет волновые свойства частицы. Де Бройль постулировал, что каждой частице с импульсом $p$ отвечает волна с длиной

$$\lambda = \frac{h}{p},$$

где $h = 6.626\times10^{-34}$ Дж·с — постоянная Планка. По закону импульса силы $\Delta \vec p = \vec F\,\Delta t$ (из механики) сила изменяет вектор импульса; если меняется его модуль $|p|$, меняется и $\lambda$: разгоняя частицу вдоль её движения, мы укорачиваем её волну. Сила, перпендикулярная импульсу, меняет только направление импульса, но не $|p|$, поэтому $\lambda = h/|p|$ остаётся неизменной. Для макроскопических тел импульс велик, и $\lambda$ ничтожно мала (порядка $10^{-34}$ м), тогда как для электрона с $v \sim 10^{6}$ м/с получается $\lambda \sim 0.7$ нм — величина порядка межатомных расстояний, поэтому пучок электронов даёт дифракцию на кристалле. Волна де Бройля — это волна амплитуды вероятности, а не колебание среды: её интенсивность в точке пропорциональна вероятности обнаружить частицу там. Квантовое состояние не может одновременно иметь точную координату и точный импульс: $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$, где $\hbar = h/2\pi$. Это не погрешность измерения, а свойство самого состояния: локализация частицы в области $\Delta x$ требует ненулевого разброса импульсов, а значит и ненулевой кинетической энергии — поэтому атомы имеют конечный размер и устойчивы.

Электрон движется со скоростью $v = 1.0\times10^{6}$ м/с. Масса электрона $m_e = 9.11\times10^{-31}$ кг. Найдите длину волны де Бройля электрона.

Электрон ускоряется из состояния покоя разностью потенциалов $U = 100$ В. Найдите его длину волны де Бройля и сравните её с межатомным расстоянием в кристалле ($d \approx 0.2$ нм). Заряд электрона $e = 1.60\times10^{-19}$ Кл, масса $m_e = 9.11\times10^{-31}$ кг.

Электрон локализован в области размером $\Delta x = 0.10$ нм (порядок размера атома). Пользуясь соотношением неопределённостей $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$, оцените минимальный разброс импульса и минимальную кинетическую энергию электрона. Сравните результат с энергией ионизации атома водорода $13.6$ эВ.

Цель: увидеть, как $\lambda = h/p$ меняется на десятки порядков величины и как работает соотношение неопределённостей.

Безопасность: работа только с расчётами и экранной моделью; никаких источников излучения и высокого напряжения не требуется. В частности, не нужны ни источник электронов, ни ускоряющее напряжение — все данные берутся из условия.

Часть 1. Таблица в электронной таблице. Создайте столбцы $m$, $v$, $p = mv$, $\lambda = h/p$. Заполните строки:

• электрон, $m_e = 9.11\times10^{-31}$ кг, $v = 1.0\times10^{6}$ м/с;
• тот же электрон при $v = 1.0\times10^{7}$ м/с (сравните $\lambda$);
• протон, $m_p = 1.67\times10^{-27}$ кг, $v = 1.0\times10^{6}$ м/с;
• бейсбольный мяч, $m = 0.145$ кг, $v = 40$ м/с.

Часть 2. График. Постройте зависимость $\lg\lambda$ от $\lg p$ — по формуле $\lambda = h/p$ это прямая с наклоном $-1$. Проверьте, что все четыре точки ложатся на одну прямую.

Часть 3. Локализация. Для $\Delta x = 1.0$ нм, $0.10$ нм и $0.010$ нм вычислите $\Delta p \ge \hbar/(2\Delta x)$ и $K_{min} \approx (\Delta p)^2/(2m_e)$. Постройте график $K_{min}$ от $\Delta x$ и сформулируйте вывод: чем сильнее сжата область, тем больше энергия.

Часть 4 (по желанию). Откройте интерактивную модель интерференции квантовых волн (например, симуляцию двух щелей для электронов) и убедитесь, что при уменьшении длины волны де Бройля полосы на экране сближаются.

Показать две идеи сразу: (1) длина волны де Бройля обратно пропорциональна импульсу и на много порядков различается для микро- и макрообъектов; (2) чем сильнее локализована частица, тем шире разброс её импульсов.

Две панели.

Слева — график в двойном логарифмическом масштабе: по горизонтали $p$ (от $10^{-26}$ до $10^{1}$ кг·м/с), по вертикали $\lambda = h/p$ (от $10^{-34}$ до $10^{-9}$ м). Прямая с наклоном $-1$; на ней отмечены точки «электрон $10^{6}$ м/с», «электрон $100$ эВ», «протон», «мяч»; горизонтальная пунктирная линия на уровне $0.2$ нм помечена «межатомное расстояние $d \approx 0.2$ нм» — волновые эффекты в кристалле наблюдаемы, когда $\lambda \approx d$ (для дифракционного максимума первого порядка $\lambda \le 2d$), а не для любых длин волн выше этой линии. Точки, лежащие вблизи линии (электрон $100$ эВ: $\lambda \approx 0.12$ нм), соответствуют наблюдаемой дифракции; точка «мяч» далеко под линией — волновые эффекты ненаблюдаемы.

Справа — схема: волновой пакет (несколько периодов синусоиды под гауссовой огибающей) шириной $\Delta x$; под ним горизонтальная двусторонняя стрелка «$\Delta x$». Рядом веер стрелок импульса: узкая огибающая — широкий веер (большой $\Delta p$), широкая огибающая — узкий веер; подпись $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$.

Футбольный мяч массой $m = 0.43$ кг улетает с бутсы со скоростью $v = 25$ м/с, значит его импульс равен $p = mv = 0.43 \times 25 = 10.8$ кг·м/с. Длина волны де Бройля такого мяча $\lambda = h/p = 6.63\times10^{-34}/10.8 \approx 6\times10^{-35}$ м. Диаметр протона около $1.7\times10^{-15}$ м, то есть волна мяча примерно в $10^{20}$ раз короче одного протона.

Здесь работает основное соотношение де Бройля $\lambda = h/p$: чем больше импульс, тем короче волна. Дифракция и интерференция заметны только тогда, когда $\lambda$ сравнима с размером препятствия или щели; у мяча $\lambda$ в $10^{20}$ раз меньше любой щели, через которую он может пролететь, поэтому волновые свойства мяча не наблюдаются и ньютоновской механики достаточно.

В электронном микроскопе электрон ускоряется напряжением $U = 100$ В и получает кинетическую энергию $E_k = eU = 100$ эВ $= 1.60\times10^{-17}$ Дж. Из $E_k = p^2/2m$ находим импульс: $p = \sqrt{2 m_e E_k} = \sqrt{2 \times 9.11\times10^{-31} \times 1.60\times10^{-17}} \approx 5.4\times10^{-24}$ кг·м/с, откуда $\lambda = h/p \approx 6.63\times10^{-34}/5.4\times10^{-24} \approx 1.2\times10^{-10}$ м $= 0.12$ нм. Это как раз расстояние между атомами в кристалле, поэтому тонкий образец дифрагирует такой пучок.

Соотношение де Бройля $\lambda = h/p$ вместе со связью $E_k = p^2/2m$ переводит ускоряющее напряжение в длину волны. Разрешающая способность микроскопа определяется этой длиной волны: волна $0.12$ нм выявляет детали мельче, чем зелёный свет с длиной волны около $550$ нм в световом микроскопе.

В кремнии чипа телефона электрон связан внутри атома размером около $1\times10^{-10}$ м, поэтому неопределённость его координаты не превышает $\Delta x \approx 1\times10^{-10}$ м. Принцип неопределённости требует $\Delta p \ge \hbar/(2\Delta x) = 1.055\times10^{-34}/(2\times10^{-10}) \approx 5.3\times10^{-25}$ кг·м/с. Даже самый спокойный электрон с таким импульсом несёт кинетическую энергию $\Delta p^2/(2m_e) \approx (5.3\times10^{-25})^2/(2\times9.11\times10^{-31}) \approx 1.5\times10^{-19}$ Дж $\approx 1$ эВ.

Это координатно-импульсная форма принципа неопределённости $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$. Попытка загнать электрон в меньшую $\Delta x$ увеличивает $\Delta p$, а значит и кинетическую энергию, поэтому электрон не может лежать неподвижно на самом ядре. Полученная энергия того же порядка, что и энергии химических связей в несколько электронвольт, а равновесие между этой кинетической энергией и притяжением к ядру и задаёт размер атома порядка $1\times10^{-10}$ м.