Проводники, диэлектрики и полупроводники: различие по способности проводить заряд

Твёрдые тела различаются прежде всего тем, сколько их электронов могут свободно двигаться. В проводнике (металле) валентная зона перекрывается с зоной проводимости, поэтому свободных носителей — электронов — очень много, $n\sim10^{28}\ \text{m}^{-3}$, а удельное сопротивление мало: $\rho\sim10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$. В диэлектрике (изоляторе) запрещённая зона широка, $E_g > 3\ \text{eV}$, тепловое движение почти не забрасывает электроны в зону проводимости, $\rho > 10^{8}\ \Omega\cdot\text{m}$, и заряд, помещённый на изолятор, остаётся на месте. У полупроводника зона узкая, $E_g \approx 1\ \text{eV}$ (кремний: $1.12\ \text{eV}$), поэтому при комнатной температуре появляется немного носителей, проводимость занимает промежуточное положение и быстро растёт с температурой. Для всех трёх классов локальная связь поля и тока — это закон Ома в дифференциальной форме $\vec{j} = \sigma \vec{E}$, где $\sigma = 1/\rho$; в микроскопической картине $\sigma = n e \mu$, где $n$ — концентрация носителей, а $\mu$ — их подвижность. Классификация поэтому количественная: именно концентрация $n$ (то есть ширина запрещённой зоны $E_g$) решает, проводит ли тело заряд, удерживает его или занимает промежуточное положение.

Стержень из материала имеет удельное сопротивление $\rho = 5.0\times10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$. Вдоль него приложено электрическое поле $E = 0.10\ \text{V/m}$. (a) Определите класс материала. (b) Найдите плотность тока.

Образец полупроводника имеет концентрацию электронов $n = 1.0\times10^{22}\ \text{m}^{-3}$ и подвижность $\mu = 0.050\ \text{m}^{2}/(\text{V}\cdot\text{s})$.

(a) Найдите $\sigma$ и $\rho$.

(b) Какова дрейфовая скорость электронов в поле $E = 100\ \text{V/m}$?

(c) Для меди $n = 8.5\times10^{28}\ \text{m}^{-3}$, $\mu = 4.5\times10^{-3}\ \text{m}^{2}/(\text{V}\cdot\text{s})$. Во сколько раз проводимость меди больше?

Ширины запрещённых зон: кремний $E_g = 1.12\ \text{eV}$, арсенид галлия $E_g = 1.42\ \text{eV}$, алмаз $E_g = 5.5\ \text{eV}$. Используя $hc = 1240\ \text{eV}\cdot\text{nm}$, найдите граничную (наибольшую) длину волны света, способного создать свободные носители в каждом материале. Какой материал пригоден для фотоприёмника видимого диапазона ($400$–$700\ \text{nm}$) и как классифицировать алмаз при комнатной температуре?

Три опыта с мультиметром — только на батарейном питании (режим омметра и режим проверки диода), никогда от сети.

1. Проводник. Нарисуйте мягким карандашом графитовую полосу длиной около $6\ \text{cm}$ на бумаге; измерьте её сопротивление $R$. Повторите для $L = 2, 4, 6\ \text{cm}$ и постройте график $R(L)$: он линейный. Оцените $\sigma = L/(R A)$ и сравните с табличным значением для графита.
2. Диэлектрик. Измерьте $R$ сухой стеклянной палочки, пластиковой линейки и сухой бумаги — прибор покажет «> $20\ \text{M}\Omega$» (вне шкалы). Затем натрите пластиковую линейку шерстью и убедитесь, что через минуту она всё ещё притягивает мелкие бумажки: заряд не утекает.
3. Полупроводник. В режиме проверки диода измерьте прямое падение напряжения на кремниевом диоде (около $0.6$–$0.7\ \text{V}$) и обратное включение (вне шкалы). Согрейте диод в руке $1$–$2$ минуты и снова измерьте: прямое падение уменьшится, потому что с ростом температуры концентрация носителей растёт и при том же токе нужно меньшее напряжение.

Если нагревать прибор неудобно или небезопасно, замените шаг 3 любым симулятором зонной структуры (например, PhET «Band Structure»): меняйте температуру и легирование, записывая концентрацию носителей $n$ и проводимость.

Таблица результатов: материал — измеренная величина — класс (проводник / диэлектрик / полупроводник). Обсудите, почему у проводника сопротивление растёт с температурой, а у полупроводника падает.

Показать, как ширина запрещённой зоны управляет числом свободных носителей и, значит, определяет класс твёрдого тела.

Эскиз: три зонные диаграммы рядом.

• Проводник: зона проводимости и валентная зона перекрываются, а уровень Ферми лежит внутри частично заполненной зоны проводимости: почти все занятые электронные состояния расположены на уровне Ферми и ниже него, и лишь над ним имеется узкий тепловой слой шириной порядка $kT$ из нескольких возбуждённых электронов.
• Полупроводник: щель $E_g \approx 1\ \text{eV}$, вверху лишь несколько точек, помеченных «тепловое возбуждение».
• Диэлектрик: щель $E_g > 3\ \text{eV}$, зона проводимости пуста.

Под диаграммами — общая логарифмическая ось удельного сопротивления $\rho$ в $\Omega\cdot\text{m}$ с отметками $10^{-8}$ (металлы), $10^{-5}$–$10^{4}$ (полупроводники), $>10^{8}$ (диэлектрики). Стрелка $T\uparrow$ у полупроводника показывает рост $n$ с температурой.

Экран телефона — это стекло толщиной около $0.5\ \mathrm{mm}$ (относительная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_r \approx 6$), покрытое изнутри прозрачным проводником — оксидом индия и олова. Когда кончик пальца (проводник) оказывается на расстоянии около $1\ \mathrm{mm}$ от стекла, контроллер измеряет изменение ёмкости в несколько пикофарад — например, с $20\ \mathrm{pF}$ до $19\ \mathrm{pF}$ — и регистрирует касание.

Стекло — диэлектрик: его заряды связаны внутри атомов и смещаются лишь на доли атомного размера, поэтому они поляризуются и поддерживают поле $E = U/d$ на толщине $0.5\ \mathrm{mm}$, не перенося постоянного тока. Палец — проводник: его свободные электроны перестраиваются примерно за $10^{-12}\ \mathrm{s}$, так что поверхность пальца становится эквипотенциальной. Изменение ёмкости возникает от обоих типов поведения сразу.

Разряд молнии несёт пиковый ток около $30\ \mathrm{kA}$ в течение нескольких десятков микросекунд и переносит заряд примерно $15\ \mathrm{C}$. Стальной кузов стоящего автомобиля имеет толщину около $0.8\ \mathrm{mm}$. Пассажиры остаются невредимыми, хотя внешняя поверхность на мгновение достигает потенциалов в миллионы вольт относительно земли.

Сталь — проводник, в котором примерно один свободный электрон на атом, концентрация $n \approx 8.5 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$; эти электроны перемещаются примерно за $10^{-6}\ \mathrm{s}$ и выносят избыточный заряд на внешнюю поверхность. В электростатическом равновесии поле внутри металла равно нулю, $E_\text{in} = 0$, поэтому внутренняя область остаётся при одном потенциале — это клетка Фарадея. Воздух вокруг машины — диэлектрик, который обычно не проводит ток и пробивается лишь тогда, когда поле достигает его электрической прочности, около $3 \times 10^{6}\ \mathrm{V/m}$.

Бытовая панель площадью $1.6\ \mathrm{m^2}$ даёт около $300\ \mathrm{W}$ при освещённости $1000\ \mathrm{W/m^2}$, а каждая ячейка — примерно $0.6\ \mathrm{V}$. Её рабочий материал — кристаллический кремний с шириной запрещённой зоны $E_g = 1.12\ \mathrm{eV}$; при $300\ \mathrm{K}$ концентрация собственных свободных носителей в нём всего около $1.5 \times 10^{16}\ \mathrm{m^{-3}}$.

Кремний — полупроводник: при комнатной температуре он освобождает лишь около $1.5 \times 10^{16}$ носителей на кубический метр, примерно на двенадцать порядков меньше, чем $8.5 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$ у меди, а носитель появляется только тогда, когда тепловое движение или поглощённый фотон дают не меньше $E_g = 1.12\ \mathrm{eV}$. Один атом примеси на $10^{6}$ атомов кремния увеличивает число носителей на много порядков, но не превращает материал в металл — именно это удерживает его между проводником и диэлектриком.