Круговое и баллистическое движение: ускорение как изменение вектора скорости

Скорость — вектор, поэтому она меняется при изменении как модуля, так и направления; ускорение есть скорость изменения этого вектора. При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но направление непрерывно поворачивается, поэтому $\Delta \vec v = \vec v_2 - \vec v_1$ направлено к центру, а центростремительное ускорение равно $a_c = v^2/r = \omega^2 r$. При баллистическом движении вблизи Земли единственное ускорение — ускорение свободного падения $\vec g$, направленное вниз, а горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной, потому что горизонтальная сила отсутствует. Горизонтальное и вертикальное движения независимы, и каждое из них описывается уже известными уравнениями равноускоренного движения: $v = v_0 + at$ и $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$. Полезно помнить: равенство $a = 0$ невозможно ни на круговой траектории (там меняется направление), ни на баллистической (там меняется вертикальная составляющая).

Шарик на нити движется по окружности радиусом $r = 0{,}50$ м с постоянной по модулю скоростью $v = 2{,}0$ м/с. Найдите центростремительное ускорение и укажите его направление.

Мяч бросают с земли со скоростью $v_0 = 20$ м/с под углом $30^\circ$ к горизонту. Считая $g = 9{,}8$ м/с$^2$ и пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите время полёта, максимальную высоту и дальность полёта.

Камень бросают горизонтально со скоростью $15$ м/с с обрыва высотой $45$ м. Найдите время падения, расстояние от основания обрыва до точки падения, а также модуль и направление скорости камня в момент удара о землю. Примите $g = 9{,}8$ м/с$^2$.

Самопроверка в симуляции. Откройте симуляцию PhET: Projectile Motion (или Ladybug Revolution для кругового движения). Работайте в режиме «без сопротивления воздуха».

1. Зафиксируйте $v_0 = 20$ м/с и меняйте угол от $15^\circ$ до $75^\circ$ с шагом $15^\circ$. Записывайте дальность в таблицу. Убедитесь, что максимум достигается вблизи $45^\circ$, и объясните это формулой $R = v_0^2 \sin 2\theta / g$.
2. Включите отображение векторов скорости. Убедитесь, что горизонтальная стрелка не меняется, а вертикальная составляющая меняется линейно: она уменьшается до нуля в верхней точке траектории, а затем растёт в противоположном (нижнем) направлении, то есть меняет знак в вершине.
3. В режиме кругового движения задайте постоянную угловую скорость и проверьте, что при увеличении радиуса вдвое центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 r$ тоже удваивается, хотя число оборотов в секунду не меняется.
4. Запишите вывод одним абзацем: какой вектор меняется на круговой траектории и какой — на баллистической.

Безопасность. Все измерения выполняются только в симуляции. Не бросайте предметы через дороги, балконы и в сторону людей; если вы всё же снимаете скатывание шарика со стола на телефон, делайте это на полу и подальше от прохода.

Сделать видимой векторную природу ускорения: показать, что при постоянном модуле скорости вектор скорости всё равно меняется, и что на баллистической траектории меняется только одна его составляющая.

Схема из двух частей.

Слева: окружность радиуса $r$ с точками $A$, $B$, $C$. В каждой точке — стрелка $\vec v$ по касательной одинаковой длины. Рядом построен треугольник векторов: $\vec v_1$ и $\vec v_2$ приведены к общему началу, вектор $\Delta\vec v = \vec v_2 - \vec v_1$ направлен к центру окружности, подпись $a_c = v^2/r$.

Справа: параболическая траектория броска под углом. В трёх точках (старт, вершина, приземление) вектор скорости разложен на постоянную горизонтальную составляющую $v_x$ (одинаковые стрелки) и вертикальную $v_y$, которая уменьшается, обращается в нуль в вершине и меняется на противоположную. Внизу — единственный вектор ускорения $\vec g$, направленный вертикально вниз.

При штрафном ударе игрок бьёт по мячу со скоростью $20\ \mathrm{m/s}$ под углом $30^\circ$ к земле с уровня газона. Скорость раскладывается на $v_x = 20\cos 30^\circ \approx 17\ \mathrm{m/s}$ вдоль земли и $v_y = 20\sin 30^\circ = 10\ \mathrm{m/s}$ вверх. При $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ мяч поднимается $1.0\ \mathrm{s}$, достигает высоты $h = v_y^2/(2g) = 5\ \mathrm{m}$ и падает через $2.0\ \mathrm{s}$ примерно в $17 \times 2.0 = 34\ \mathrm{m}$ от точки удара — почти у границы штрафной площади.

Это баллистическое движение: горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной, а вертикальная меняется равноускоренно с $\vec a = \vec g$, поэтому $\vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0 t + \tfrac{1}{2}\vec g t^2.$ Составляющие независимы: равномерное движение вдоль земли и равноускоренное движение по вертикали складываются в параболу, а вектор скорости $\vec v$ непрерывно поворачивается вдоль траектории.

В режиме отжима барабан стиральной машины радиуса $r = 0.25\ \mathrm{m}$ вращается с частотой $1400\ \mathrm{rpm}$. За секунду барабан делает $1400/60 \approx 23$ оборота, значит $\omega = 2\pi \times 23 \approx 147\ \mathrm{rad/s}$. Капля воды на стенке барабана в $0.25\ \mathrm{m}$ от оси движется со скоростью $v = \omega r \approx 37\ \mathrm{m/s}$ и имеет центростремительное ускорение $a = \omega^2 r \approx 5.4\times10^3\ \mathrm{m/s^2}$ — примерно в $550$ раз больше $g$. Стенка должна толкать каплю к оси с такой силой; там, где отверстие перестаёт давить на каплю, она срывается по касательной — поэтому вода и вылетает через дырки.

Здесь работает круговое движение: при постоянной по модулю скорости $v$ вектор скорости меняет направление в каждый момент, поэтому ускорение $a_c = v^2/r = \omega^2 r$ направлено к центру и перпендикулярно $\vec v$. Модуль скорости не меняется, а направление поворачивается — именно поэтому в равномерном движении по окружности ускорение не равно нулю.

Автомобиль массой $m = 1200\ \mathrm{kg}$ проходит поворот радиусом $R = 80\ \mathrm{m}$ со скоростью $20\ \mathrm{m/s}$ ($72\ \mathrm{km/h}$). Его центростремительное ускорение $a_c = v^2/R = 400/80 = 5\ \mathrm{m/s^2}$, поэтому дорога должна создать боковую силу $F = m a_c = 6000\ \mathrm{N}$ за счёт трения — нужен коэффициент трения не меньше $a_c/g \approx 0.51$. На том же повороте при $30\ \mathrm{m/s}$ ($108\ \mathrm{km/h}$) требуемое ускорение $900/80 = 11.25\ \mathrm{m/s^2}$ больше самого $g$, и никакое сухое покрытие машину не удержит.

Скорость машины направлена по касательной к окружности и на установившемся повороте не меняется по модулю, но её направление меняется в каждой точке, поэтому вектор ускорения направлен к центру и равен $a_c = v^2/R$. Если трения не хватает, машина перестаёт двигаться по окружности и уходит по касательной — то самое прямолинейное движение, которое описывает баллистическая часть этого понятия.