Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Идеальная жидкость несжимаема и не обладает внутренним трением, поэтому вдоль линии тока энергия каждого элемента объёма сохраняется.

Давление $p = F/A$ (из предыдущей темы) — это статическое давление, а слагаемое $\rho g h$ описывает давление, создаваемое весом столба жидкости над рассматриваемой точкой.

Для установившегося течения вдоль линии тока выполняется уравнение Бернулли:

$$p + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g h = \text{const}.$$

Каждое слагаемое имеет размерность энергии на единицу объёма: $\mathrm{J/m^{3}} = \mathrm{Pa}$.

Слагаемое $\frac{1}{2}\rho v^{2}$ называют динамическим давлением: оно растёт при увеличении скорости $v$.

Поскольку сумма постоянна, там, где поток ускоряется, статическое давление падает, а при подъёме на высоту $h$ давление тоже уменьшается.

По горизонтальной трубе течёт вода ($\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^{3}}$). В сечении 1 скорость $v_1 = 1{,}5\ \mathrm{m/s}$ и давление $p_1 = 2{,}0\cdot10^{5}\ \mathrm{Pa}$. В сечении 2 скорость $v_2 = 3{,}0\ \mathrm{m/s}$. Найдите давление $p_2$.

В открытом баке вода вытекает через малое отверстие, расположенное на $h = 2{,}0\ \mathrm{m}$ ниже уровня воды в баке. Найдите скорость вытекания струи. Атмосферное давление действует и на поверхность воды, и на выходящую струю.

Вода ($\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^{3}}$) течёт по трубе, поднимающейся вверх. В сечении 1 площадь $A_1 = 4{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$, скорость $v_1 = 2{,}0\ \mathrm{m/s}$, давление $p_1 = 1{,}5\cdot10^{5}\ \mathrm{Pa}$. В сечении 2 площадь $A_2 = 2{,}0\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^{2}}$, а высота больше на $1{,}0\ \mathrm{m}$: $h_2 = h_1 + 1{,}0\ \mathrm{m}$. Найдите давление $p_2$.

Самопроверка в симуляции потока. Откройте интерактивную симуляцию давления и течения жидкости (например, PhET «Fluid Pressure and Flow») и работайте только в ней — не создавайте самодельные сосуды под давлением и не используйте открытое пламя или стеклянные трубки.

1. Выберите горизонтальную трубу с изменяющейся площадью. Зафиксируйте высоту и запишите для 5–6 сечений скорость $v$ и статическое давление $p$.
2. Постройте график зависимости $p$ от $v^{2}$. Точки должны лечь на прямую; оцените её наклон и сравните с теоретическим значением $-\rho/2$.
3. Для каждой пары сечений проверьте, что сумма $p + \frac{1}{2}\rho v^{2}$ постоянна с точностью до погрешности симуляции.
4. Включите наклон трубы вверх и убедитесь, что теперь постоянной остаётся полная сумма $p + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g h$.

Показать, что сумма статического, динамического и гидростатического слагаемых остаётся постоянной вдоль линии тока, а между слагаемыми происходит перераспределение.

Схема: горизонтальная труба с широким и узким участками, проведённые линии тока, стрелки скорости (длиннее в узком сечении) и манометры в двух сечениях. Под схемой — столбчатая диаграмма трёх слагаемых $p$, $\frac{1}{2}\rho v^{2}$ и $\rho g h$ для обоих сечений, показывающая, что их сумма одинакова.

Садовый шланг с внутренней площадью сечения $A_1 = 3{,}1\times10^{-4}\ \text{м}^2$ подаёт воду со скоростью $v_1 = 1{,}2\ \text{м/с}$. Надеваем на конец насадку с площадью $A_2 = 8{,}0\times10^{-5}\ \text{м}^2$. Из непрерывности потока $v_2 = v_1 A_1/A_2 \approx 4{,}7\ \text{м/с}$. Высота не меняется, плотность воды $\rho = 1000\ \text{кг/м}^3$, значит падение давления в насадке $\Delta p = \tfrac12\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right) \approx 0{,}5\cdot1000\cdot(22 - 1{,}4)\,\text{Па} \approx 1{,}0\times10^4\ \text{Па}$, то есть около $0{,}1\ \text{бар}$. Струя бьёт быстрее, но давление внутри насадки падает.

Здесь работает слагаемое кинетической энергии $\tfrac12\rho v^2$ при постоянной высоте: вдоль линии тока сумма $p + \tfrac12\rho v^2 + \rho g h$ сохраняется, поэтому рост $\tfrac12\rho v^2$ в $4{,}7/1{,}2$ раза по скорости (то есть примерно в $15$ раз по $v^2$) обязан быть оплачен падением $p$.

Мяч летит со скоростью $25\ \text{м/с}$, и из-за вращения воздух обтекает его с одной стороны со скоростью $22\ \text{м/с}$, а с другой — $20\ \text{м/с}$. Плотность воздуха $\rho = 1{,}2\ \text{кг/м}^3$, поэтому разность давлений между сторонами $\Delta p = \tfrac12\rho\left(22^2 - 20^2\right) = 0{,}5\cdot1{,}2\cdot84\,\text{Па} \approx 50\ \text{Па}$. Площадь поперечного сечения мяча $A \approx 0{,}038\ \text{м}^2$, значит боковая сила $F = \Delta p\,A \approx 1{,}9\ \text{Н}$. При массе мяча $0{,}43\ \text{кг}$ ускорение $a \approx 4{,}4\ \text{м/с}^2$; за $0{,}8\ \text{с}$ полёта мяч уходит в сторону примерно на $\tfrac12 a t^2 \approx 1{,}4\ \text{м}$ — этого достаточно, чтобы обвести вратаря.

Используется связь давления со скоростью в слагаемом $\tfrac12\rho v^2$: там, где воздух движется быстрее, давление меньше, и мяч толкает в сторону области с меньшим $p$. Высотой вдоль траектории пренебрегаем, но сама модель идеальной жидкости не учитывает вязкость, поэтому реальное искривление траектории меньше расчётного.

Крыло площадью $A = 16\ \text{м}^2$ обдувается воздухом плотностью $\rho = 1{,}2\ \text{кг/м}^3$. Над крылом скорость $70\ \text{м/с}$, под крылом $60\ \text{м/с}$. Разность давлений $\Delta p = \tfrac12\rho\left(70^2 - 60^2\right) = 0{,}5\cdot1{,}2\cdot1300\,\text{Па} = 780\ \text{Па}$, а подъёмная сила $F = \Delta p\,A \approx 1{,}2\times10^4\ \text{Н}$. Столько же весит самолёт массой около $1{,}2\ \text{т}$ — это масштаб лёгкого учебного самолёта вроде Cessna 172 (взлётная масса $\approx 1{,}1\ \text{т}$, вес $\approx 1{,}1\times10^4\ \text{Н}$).

Применяется уравнение Бернулли вдоль линии тока над крылом и под ним: толщина крыла мала, поэтому разницей $\rho g h$ между верхней и нижней линиями тока пренебрегают и вся разность давлений идёт от разности $\tfrac12\rho v^2$. Оценка сверху верна по порядку величины; точная подъёмная сила требует учёта скоса потока вниз.