Притяжение и отталкивание частиц: основы взаимодействия

Частицы вещества (атомы, молекулы, ионы) взаимодействуют друг с другом: на больших расстояниях преобладает притяжение, на очень малых — отталкивание. Между этими областями есть расстояние $r_0$, на котором силы уравновешиваются, а потенциальная энергия взаимодействия минимальна. Считая силу $F$ положительной при отталкивании:

$$r < r_0 \;\Rightarrow\; F > 0, \qquad r > r_0 \;\Rightarrow\; F < 0.$$

При $r \gg r_0$ взаимодействие быстро ослабевает и практически исчезает. Из этого баланса следуют свойства состояний вещества: в газах среднее расстояние между частицами много больше $r_0$, силы слабы, и частицы летят почти свободно; в жидкостях частицы расположены вблизи $r_0$, притяжение удерживает их вместе, но позволяет перескакивать с места на место; в твёрдых телах частицы колеблются около положений равновесия $r_0$. Тепловое движение непрерывно выводит частицы из равновесия, а взаимодействие возвращает их обратно.

Две молекулы находятся на расстоянии $r = 4.5\cdot 10^{-10}$ м. Расстояние равновесия для этого вещества $r_0 = 3.0\cdot 10^{-10}$ м. Считая силу положительной при отталкивании, определите знак равнодействующей силы и укажите, притягиваются молекулы или отталкиваются.

Оцените среднее расстояние между молекулами в жидкой воде ($\rho = 1000$ кг/м$^3$, $M = 0.018$ кг/моль) и в водяном паре при нормальных условиях (молярный объём $V_m = 22.4$ л/моль). Сравните оба результата с $r_0 \approx 0.3$ нм и объясните, почему жидкость держится как капля, а пар сам по себе не собирается в каплю.

Твёрдое тело нагревают, и частицы колеблются около $r_0$ со всё большей амплитудой. Используя зависимость силы от расстояния

$$F_r(r) = C\left[\left(\frac{r_0}{r}\right)^{13} - \left(\frac{r_0}{r}\right)^{7}\right],$$

объясните, почему при нагревании тело расширяется и почему сжать твёрдое тело труднее, чем газ.

Прямое наблюдение отдельных молекул в домашних условиях невозможно, поэтому работайте с компьютерной моделью (например, PhET «Atomic Interactions» или «States of Matter: Basics»).

1. В электронной таблице постройте график $F_r(r) = C\left[\left(\frac{r_0}{r}\right)^{13} - \left(\frac{r_0}{r}\right)^{7}\right]$ при $C = 1$, $r_0 = 1$ для $r$ от $0.8$ до $3$. Отметьте на графике область отталкивания, точку $F_r = 0$ и хвост притяжения.
2. В симуляции поместите две частицы и плавно меняйте расстояние между ними, записывая знак силы в таблицу (не менее шести точек).
3. Сформулируйте три вывода: где сила равна нулю, где частицы притягиваются, где отталкиваются, и как это связано с устойчивостью твёрдого тела и жидкости.

Безопасность: работайте только с виртуальной моделью; не нагревайте и не сжимайте закрытые сосуды и не пытайтесь повторять сжатие газа с реальными ёмкостями.

Показать, что сила взаимодействия меняет знак при $r = r_0$, и связать этот переход с равновесием частиц и устойчивостью состояний вещества.

График радиальной силы $F_r$ в зависимости от расстояния $r$: положительная ветвь при $r < r_0$ (отталкивание), нуль в точке $r_0$, отрицательная ветвь при $r > r_0$ (притяжение), стремящаяся к нулю при $r \to \infty$. Рядом — схематичный рисунок двух частиц, соединённых отрезком с отметкой $r_0$ и стрелками сил.

Шоссейную шину накачивают ручным насосом до $7\,\text{bar}$ ($700\,\text{kPa}$). Цилиндр насоса длиной $250\,\text{mm}$ и внутренним диаметром $28\,\text{mm}$ вмещает около $154\,\text{cm}^3$ воздуха при $1\,\text{bar}$; когда поршень опускают и объём уменьшается примерно в $7$ раз, давление в цилиндре поднимается до $7\,\text{bar}$.

При $1\,\text{bar}$ и $20\,^\circ\text{C}$ на одну молекулу воздуха приходится объём порядка $(3\,\text{nm})^3$; при $7\,\text{bar}$ среднее расстояние между молекулами падает примерно до $1{,}8\,\text{nm}$. Молекулы $\text{N}_2$ и $\text{O}_2$ начинают отталкиваться, как только их электронные оболочки сближаются ближе $\sim 0{,}3\,\text{nm}$, и это короткодействующее отталкивание — та самая сила, которую рука преодолевает при каждом качке насоса. Слабое притяжение между молекулами объясняет, почему воздух всё-таки можно превратить в жидкость: азот кипит при $77\,\text{K}$.

В стакан с $250\,\text{g}$ лимонада при $20\,^\circ\text{C}$ бросают кубик льда массой $25\,\text{g}$ при $0\,^\circ\text{C}$. На плавление кубика уходит $25\,\text{g}\times 334\,\text{J/g}=8{,}35\,\text{kJ}$, взятых из напитка, и лимонад охлаждается примерно на $8\,^\circ\text{C}$, до $12\,^\circ\text{C}$.

В кристалле льда каждая молекула воды удерживается водородными связями с четырьмя соседями, находящимися на расстояниях около $0{,}28\,\text{nm}$, поэтому молекулы лишь колеблются около фиксированных положений. Плавление одного моля льда требует $6{,}0\,\text{kJ}$, то есть около $0{,}06\,\text{eV}$ на молекулу — это энергия, нужная, чтобы притяжение перестало удерживать соседей на местах, хотя сами молекулы остаются в контакте: вода сохраняет плотность около $1000\,\text{kg/m}^3$, а молекулы скользят друг относительно друга.

Шарик диаметром $30\,\text{cm}$ содержит около $14\,\text{L}$ гелия, то есть примерно $3{,}5\times 10^{23}$ атомов при $20\,^\circ\text{C}$ и $1\,\text{atm}$. Через двое суток он уже не держится в воздухе и опускается на пол.

У атома гелия заполненная электронная оболочка, и притяжение между атомами He — самое слабое среди всех веществ: жидкий гелий существует лишь ниже $4{,}2\,\text{K}$ при $1\,\text{atm}$, тогда как азот кипит при $77\,\text{K}$, а кислород при $90\,\text{K}$ именно потому, что их молекулы притягиваются друг к другу заметно сильнее. При $20\,^\circ\text{C}$ средняя скорость атома гелия $\sqrt{3RT/M}\approx 1{,}35\,\text{km/s}$, и эти почти не взаимодействующие между собой атомы постепенно просачиваются через стенки латекса наружу.