Ускорение и равномерно ускоренное движение: векторный подход

В выбранной системе отсчёта положение тела задаёт радиус-вектор $\vec r(t)$, а перемещение $\Delta\vec r=\vec r_2-\vec r_1$ зависит только от начальной и конечной точек, тогда как путь $s$ — лишь скалярная мера пройденной траектории. Средняя скорость равна $\vec v_{ср}=\Delta\vec r/\Delta t$, а мгновенная скорость $\vec v=d\vec r/dt$ направлена по касательной к траектории. Ускорение — это быстрота изменения вектора скорости: $\vec a=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\quad(\Delta t\to 0).$ Вектор $\vec a$ не связан жёстко с направлением движения: он может быть направлен вдоль $\vec v$ (разгон), против $\vec v$ (торможение) или под углом к $\vec v$ (искривление траектории). При равномерно ускоренном движении $\vec a=\text{const}$, поэтому $\vec v=\vec v_0+\vec a t,\qquad \Delta\vec r=\vec v_0 t+\tfrac{1}{2}\vec a t^2,\qquad v^2=v_0^2+2\vec a\cdot\Delta\vec r.$ Первые две формулы — векторные, а третья — скалярное соотношение (связь между модулями скоростей и проекцией ускорения на перемещение); в 2D и 3D первые две выполняются для каждой координаты независимо, что позволяет раскладывать движение по осям выбранной системы отсчёта. Поскольку путь совпадает с модулем перемещения только при движении без поворота назад, знак проекции скорости нужно проверять отдельно.

Велосипедист движется прямолинейно вдоль положительного направления оси $x$. За $3{,}0$ с его скорость возрастает с $4{,}0$ м/с до $10{,}0$ м/с. Найдите вектор ускорения и перемещение за это время.

Автомобиль едет по прямой со скоростью $20$ м/с. Водитель тормозит, и ускорение постоянно равно $5{,}0$ м/с² по модулю и направлено против движения. За какое время автомобиль остановится и какой путь пройдёт до остановки? Сравните направления $\vec v$ и $\vec a$.

Дрон летит равномерно ускоренно в плоскости $xy$. В момент $t_1$ его скорость $\vec v_1=(4{,}0\,\hat i+2{,}0\,\hat j)$ м/с, а через $\Delta t=2{,}0$ с — $\vec v_2=(2{,}0\,\hat i+6{,}0\,\hat j)$ м/с. Найдите вектор ускорения, его модуль и угол с осью $x$, а также перемещение дрона за эти $2{,}0$ с.

Самопроверка в симуляции кинематики (например, PhET «The Moving Man» или «Projectile Motion»).

1. Задайте $v_0=0$ и постоянное $a>0$; зарисуйте графики $v(t)$ (прямая с наклоном $a$) и $x(t)$ (парабола). Отметьте, что наклон графика $v(t)$ равен ускорению.
2. Смените знак ускорения так, чтобы $\vec a$ стало противоположно $\vec v$: убедитесь, что тело тормозит, на мгновение останавливается и затем движется обратно. Запишите, в какой момент проекция скорости меняет знак.
3. Перейдите в 2D-режим и проверьте два случая:
   • Если $\vec a\perp\vec v_0$ (например, горизонтальный бросок), то в начальный момент скорость не меняется по модулю, но направление искривляется; при $t>0$ модуль скорости возрастает как $\sqrt{v_0^2+a^2t^2}$.
   • Если $\vec a\cdot\vec v_0<0$ (например, бросок под углом вверх), то модуль скорости вначале убывает, траектория искривляется; разложите движение по осям $x$ и $y$.

Перед каждым запуском записывайте предсказание (знак $a_x$, форму траектории), затем сравнивайте с наблюдаемым. Все наблюдения проводите в симуляции; если ставите опыт с наклонной плоскостью дома, используйте только низкие скорости, ровный пол и не бросайте предметы.

Показать, что при равномерно ускоренном движении вектор ускорения постоянен и определяет, как меняется вектор скорости, и связать эту векторную картину с графиками $v(t)$ и $x(t)$.

Схема: ось $x$ с телом, изображённым в равноотстоящие моменты времени; в каждой точке нарисованы векторы скорости, растущие по длине, и один и тот же по длине и направлению вектор ускорения $\vec a$, приложенный к телу. Рядом — два согласованных графика: $v(t)$ в виде прямой с наклоном $a$ и $x(t)$ в виде параболы, причём знак наклона $v(t)$ совпадает со знаком проекции вектора $\vec a$ на ось $x$.

Спринтер стартует из состояния покоя и за $2.5$ с разгоняется до $10$ м/с, после чего бежит почти равномерно. Ускорение на разгоне $a = \dfrac{10 - 0}{2.5} = 4$ м/с$^2$; путь, пройденный за разгон, $s = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a} = \dfrac{100}{8} = 12.5$ м.

Это прямая проверка кинематических формул $v = v_0 + at$ и $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$ для движения вдоль одной оси: вектор ускорения совпадает по направлению с вектором скорости, поэтому модуль скорости растёт на $4$ м/с каждую секунду.

Автомобиль едет со скоростью $90$ км/ч $= 25$ м/с и тормозит до полной остановки за $4$ с. Его ускорение $a = \dfrac{0 - 25}{4} = -6.25$ м/с$^2$, а тормозной путь $s = \dfrac{25^2}{2 \cdot 6.25} = 50$ м — примерно полсотни метров, длина бассейна.

Здесь ускорение направлено против вектора скорости, и векторная запись $\vec a = \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t}$ даёт отрицательную проекцию на ось движения: скорость убывает линейно, а путь растёт как квадрат времени, что и подтверждает формула $s = v_0 t - \dfrac{|a| t^2}{2}$.

Камень выпускают без начальной скорости с моста высотой $20$ м; сопротивлением воздуха пренебрегаем, $g = 9.8$ м/с$^2$. Время падения $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} \approx 2.0$ с, а скорость у поверхности воды $v = gt \approx 20$ м/с $\approx 72$ км/ч.

Свободное падение — это равноускоренное движение с постоянным вектором ускорения $\vec a = \vec g$, направленным вниз: за каждую секунду вектор скорости увеличивается на $9.8$ м/с, а пройденный путь за $1$ с, $2$ с, $3$ с относится как $1 : 4 : 9$.