Резонанс в цепи переменного тока и активная мощность

В последовательном контуре из $R$, $L$ и $C$ полное сопротивление равно $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$, где $X_L=\omega L$ и $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$.

Резонансом называют режим, в котором $X_L=X_C$: реактивные сопротивления взаимно компенсируются, $Z=R$ оказывается минимальным, а ток достигает максимума $I=U/R$. Резонансная частота находится из условия $\omega_0 L=\dfrac{1}{\omega_0 C}$, откуда $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ и $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.

Сдвиг фаз между напряжением и током задаётся отношением $\cos\varphi=\dfrac{R}{Z}$: при $f<f_0$ цепь ёмкостная ($X_C>X_L$), при $f>f_0$ — индуктивная ($X_L>X_C$), при $f=f_0$ ток совпадает по фазе с напряжением ($\varphi=0$).

Активная мощность — это средняя за период мощность; она выделяется только на резисторе: $P=UI\cos\varphi=I^2R$. Полная мощность $S=UI$ и реактивная $Q=UI\sin\varphi$ связаны соотношением $S^2=P^2+Q^2$; на резонансе $Q=0$, $\cos\varphi=1$ и $P=S=UI$ максимальна при данном напряжении источника.

Остроту резонанса характеризует добротность $Q_L=\dfrac{\omega_0 L}{R}=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$: она показывает, во сколько раз напряжение на катушке и конденсаторе при резонансе превышает напряжение источника.

Последовательный контур: $R=10$ Ом, $L=100$ мГн, $C=10$ мкФ. Действующее напряжение источника $U=20$ В. Найдите резонансную частоту $f_0$, ток и активную мощность в режиме резонанса.

Тот же контур ($R=10$ Ом, $L=100$ мГн, $C=10$ мкФ, $U=20$ В) работает на частоте $\omega=2000$ рад/с. Определите характер цепи, полное сопротивление, ток, $\cos\varphi$ и активную мощность. Сравните с резонансным режимом.

Однофазный потребитель (эквивалент: последовательно $R=8$ Ом и $X_L=6$ Ом) подключён к сети $U=220$ В, $f=50$ Гц. Найдите ток, активную и реактивную мощности. Какую ёмкость нужно включить параллельно, чтобы $\cos\varphi$ стал равен единице, и как изменится ток линии?

Моделирование резонанса (безопасно, без сети 220 В).

1. Откройте симуляцию цепи переменного тока (например, PhET «Circuit Construction Kit: AC») или электронную таблицу и соберите последовательный контур $R=10$ Ом, $L=100$ мГн, $C=10$ мкФ с источником $U=20$ В.
2. Перебирая частоту от 50 до 400 Гц шагом 25 Гц, записывайте ток $I$ и активную мощность $P=I^2R$.
3. Постройте график $I(f)$ и найдите частоту максимума; сравните её с расчётом $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\approx 159$ Гц.
4. Убедитесь, что при $f_0$ выполняется $\cos\varphi=1$ (напряжение и ток совпадают по фазе), а при $f<f_0$ и $f>f_0$ фаза сдвигается в разные стороны.
5. Изменяя $R$ (например, 5, 10, 20 Ом), опишите, как меняются высота и ширина резонансной кривой, и свяжите это с добротностью $Q_L$.

Важно: не собирайте эту схему с бытовой сетью 220 В — резонансные перенапряжения на $L$ и $C$ опасны. Работайте только в симуляции или с низковольтным источником.

Показать, что резонанс — это совпадение условий $X_L=X_C$, при котором полное сопротивление минимально, ток максимален, а активная мощность достигает наибольшего значения при $\cos\varphi=1$; одновременно связать активную, реактивную и полную мощности.

График. По горизонтальной оси — частота $f$ (Гц), по вертикальной — две кривые: $|Z(f)|=\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C))^2}$ (монотонно убывает до минимума $Z=R$ при $f_0$, затем растёт) и $I(f)=U/|Z(f)|$ (симметричный пик в точке $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$). Слева от $f_0$ кривые подписаны «ёмкостная область, $X_C>X_L$, $\varphi<0$», справа — «индуктивная область, $X_L>X_C$, $\varphi>0$», а в точке максимума отмечено «резонанс: $\varphi=0$, $\cos\varphi=1$, $P=P_{\max}$».

Схема-вставка. Справа — треугольник мощностей: горизонтальный катет $P=I^2R$, вертикальный катет $Q=UI\sin\varphi$, гипотенуза $S=UI$ с углом $\varphi$ между $S$ и $P$. Пунктиром показан случай резонанса, когда треугольник вырождается в отрезок: $Q=0$, $S=P$.

Телефон с FM-приёмником и старый радиоприёмник ловят сразу много станций. Входной контур собран из катушки $L = 10\ \mu\text{H}$ и конденсатора переменной ёмкости, который перестраивают от $10\ \text{pF}$ до $100\ \text{pF}$. При $C = 100\ \text{pF}$ резонансная частота контура $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}\cdot 10^{-10}}} \approx 5.0\ \text{МГц}$, а при $C = 10\ \text{pF}$ она равна $\approx 16\ \text{МГц}$: поворот ручки перестраивает приёмник по диапазону.

Сценарий работает на условии резонанса $X_L = X_C$, то есть $\omega_0 L = \dfrac{1}{\omega_0 C}$, откуда $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$. На этой частоте слагаемое $(X_L - X_C)$ в полном сопротивлении $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ обращается в нуль, $Z$ падает до $R$, ток максимален, и станция с частотой $f_0$ даёт наибольшее напряжение на выходе контура. Сдвиг ёмкости уводит $\omega$ от $\omega_0$ и резко уменьшает отклик.

Счётчик в прихожей считает активную энергию в кВт$\cdot$ч. Компрессор холодильника — двигатель с обмотками; при напряжении $U = 230\ \text{В}$ его активная мощность $P = 150\ \text{Вт}$ при $\cos\varphi = 0.6$. Тогда полная мощность $S = P/\cos\varphi = 250\ \text{В}\cdot\text{А}$, а ток в проводе $I = S/U = 250/230 \approx 1.09\ \text{А}$ вместо $0.65\ \text{А}$ у чисто активной нагрузки той же мощности.

Сценарий разделяет активную и полную мощность: $P = UI\cos\varphi = I^2R$ — это та мощность, которая необратимо превращается в тепло и механическую работу, а $Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{250^2 - 150^2} = 200\ \text{вар}$ колеблется между сетью и магнитным полем обмоток и счётчиком не оплачивается. Множитель $\cos\varphi = R/Z$ — тот же фазовый сдвиг между током и напряжением, который задаётся полным сопротивлением.

В зарядной площадке и в телефоне стоят одинаковые катушки $L = 20\ \mu\text{H}$ с конденсаторами $C = 56\ \text{nF}$, настроенные на $f_0 = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \approx 150\ \text{кГц}$. При сопротивлении катушки $R = 0.4\ \Omega$ добротность $Q = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{2\pi\cdot 150000\cdot 2\cdot 10^{-5}}{0.4} \approx 47$, и переменный ток $I = 2\ \text{А}$ создаёт на катушке напряжение $I\omega_0 L \approx 38\ \text{В}$.

Обе катушки настроены на одну и ту же $\omega_0$, поэтому на этой частоте $X_L = X_C$ и сопротивление каждого контура равно только его $R$; ток совпадает по фазе с напряжением, а $P = I^2R = 2^2\cdot 0.4 = 1.6\ \text{Вт}$ — это активная мощность, теряемая в катушке в виде тепла, тогда как остальная энергия перекачивается между магнитным полем катушки и конденсатором. Из-за большого $Q \approx 47$ небольшой уход частоты от $f_0$ нарушает совпадение резонансов и передаваемая мощность резко падает.