Работа, кинетическая энергия и мощность

Работа постоянной силы — это скалярная величина $W = F s \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором силы и вектором перемещения, а $s$ — модуль перемещения. Сила, направленная против движения, совершает отрицательную работу, а сила, перпендикулярная перемещению, — нулевую. Если на тело действует несколько сил, полная работа равна сумме работ отдельных сил: $W_{\text{net}} = \sum_i W_i$.

Связь работы с движением даёт теорема о кинетической энергии: $W_{\text{net}} = \Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}.$ Она следует из второго закона Ньютона и удобна тем, что не требует знания времени движения. Мощность характеризует быстроту совершения работы: средняя мощность $P = W/t$, мгновенная мощность $P = F v \cos\alpha$; работа и энергия измеряются в джоулях (Дж), мощность — в ваттах (Вт).

Ящик тянут за верёвку с силой $F = 50\ \text{Н}$ под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту и перемещают на $s = 4\ \text{м}$ по горизонтальному полу. Какую работу совершает сила натяжения верёвки?

Брусок массой $m = 2\ \text{кг}$ скользит по горизонтальной поверхности со скоростью $v_0 = 5\ \text{м/с}$. Коэффициент трения $\mu = 0{,}2$, ускорение свободного падения $g = 10\ \text{м/с}^2$. Используя теорему о кинетической энергии, найдите путь до полной остановки.

Автомобиль массой $m = 1200\ \text{кг}$ разгоняется по горизонтальной дороге с $v_0 = 10\ \text{м/с}$ до $v = 20\ \text{м/с}$ за $t = 5\ \text{с}$. Сила сопротивления постоянна и равна $F_c = 500\ \text{Н}$. Найдите: (а) полную работу, (б) работу силы тяги двигателя, (в) среднюю мощность двигателя.

Самопроверка в симуляции. Используйте симуляцию «Наклонная плоскость: силы и движение» (PhET The Ramp) или аналогичную, где можно задавать силу, массу и трение. Реальные тяжёлые грузы, наклонные лестницы и скользкие полы не используйте — это травмоопасно.

1. Задайте $m = 2\ \text{кг}$, силу $F = 10\ \text{Н}$ под углом $\alpha = 0^\circ$, трение $\mu = 0$. Переместите брусок на $s = 3\ \text{м}$ и запишите время $t$ движения.
2. Вычислите $W = F s \cos\alpha$ и сравните с изменением кинетической энергии $\Delta E_k$, которое показывает симуляция: должно получиться $W \approx \Delta E_k$.
3. Повторите опыт при $\alpha = 30^\circ$ и $60^\circ$; объясните, почему работа уменьшается, а при $\alpha = 90^\circ$ обращается в нуль.
4. Включите трение и проверьте, что $W_{\text{net}} = W_F + W_{\text{тр}} = \Delta E_k$.
5. Разделив работу силы на время разгона, найдите среднюю мощность $P = W/t$ и сравните её с мгновенной мощностью $P = F v \cos\alpha$ в конце пути.

Показать, что работу определяет только проекция силы на перемещение, и связать полную работу с изменением кинетической энергии.

Схема и графики. Слева: брусок, вектор перемещения $\vec{s}$ направлен вправо, вектор силы $\vec{F}$ — под углом $\alpha$ к $\vec{s}$; показаны разложение $F\cos\alpha$ вдоль $\vec{s}$ и $F\sin\alpha$ поперёк. Справа: столбиковая диаграмма энергий $E_k$ до и после движения и график зависимости полной работы $W_{\text{net}}$ от пути $s$ — прямая, тангенс наклона которой равен $F_{\text{net}}$.

Велосипедист вместе с велосипедом имеет массу $m=70\,\mathrm{kg}$. Со старта на прямом участке длиной $20\,\mathrm{m}$ он достигает скорости $v=8\,\mathrm{m/s}$ за $t=5.0\,\mathrm{s}$.

Теорема о работе и кинетической энергии говорит, что работа равнодействующей равна изменению кинетической энергии: $W_{\text{net}}=\Delta K=\frac12 mv^2-\frac12 m(0)^2=2240\,\mathrm{J}$. Средняя равнодействующая сила равна $F_{\text{net}}=W_{\text{net}}/s=112\,\mathrm{N}$, а средняя мощность $P=W_{\text{net}}/t=448\,\mathrm{W}$.

Автомобиль массой $m=1200\,\mathrm{kg}$ движется со скоростью $v_0=20\,\mathrm{m/s}$ и тормозит до полной остановки на пути $s=25\,\mathrm{m}$ за $t=3.0\,\mathrm{s}$.

Начальная кинетическая энергия равна $K_0=\frac12 mv_0^2=240000\,\mathrm{J}$. Работа силы торможения отрицательна: $W=-K_0=-240000\,\mathrm{J}$, поэтому средняя сила торможения $F=|W|/s=9600\,\mathrm{N}$. Средняя мощность рассеяния $P=|W|/t=80000\,\mathrm{W}=80\,\mathrm{kW}$.

Мостовой кран поднимает балку массой $m=500\,\mathrm{kg}$ вертикально на высоту $d=12\,\mathrm{m}$ с постоянной скоростью за $t=24\,\mathrm{s}$; примите $g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$.

При постоянной скорости подъёмная сила уравновешивает вес: $F=mg=4900\,\mathrm{N}$. Работа подъёма $W=Fd=58800\,\mathrm{J}$, а мощность $P=W/t=2450\,\mathrm{W}$. Так как $\Delta K=0$, эта работа идёт в изменение потенциальной энергии, что связывает тему с законом сохранения механической энергии.