Теорема о кинетической энергии и закон сохранения механической энергии

Работа равнодействующей силы изменяет кинетическую энергию тела: $A_{\text{net}} = \Delta E_k = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$ — это и есть теорема о кинетической энергии, справедливая и для переменных сил, если под $A_{\text{net}}$ понимать работу полной силы на всём пути.

Если действуют только консервативные силы (тяготение, упругость), их работу удобно записывать через убыль потенциальной энергии: $A_{\text{cons}} = -\Delta E_p$. Подставив это в теорему, получаем $\Delta E_k + \Delta E_p = 0$, то есть $E_k + E_p = \text{const}$.

Полная механическая энергия $E = E_k + E_p$ сохраняется, когда неконсервативные силы (трение, сопротивление воздуха, сила тяги) не совершают работы; если они работают, механическая энергия меняется ровно на их работу: $\Delta E = A_{\text{nc}}$, причём трение обычно уменьшает $E$.

Рабочая схема решения: выбрать начальное и конечное состояния, записать $E$ в каждом из них, при необходимости добавить работу неконсервативных сил и решить полученное уравнение относительно искомой величины.

Помните о предпосылках: потенциальная энергия определена только для консервативных сил, а высота $h$ отсчитывается от произвольно выбранного нулевого уровня.

Брусок массой $m = 2\ \text{kg}$ покоится на гладкой горизонтальной поверхности. К нему приложена постоянная горизонтальная сила $F = 10\ \text{N}$, направленная вдоль перемещения. Пройдя путь $d = 5\ \text{m}$, брусок имеет скорость $v$. Найдите $v$.

Тело соскальзывает без начальной скорости с гладкой горки высотой $h = 1.25\ \text{m}$ и выезжает на горизонтальный шероховатый участок с коэффициентом трения $\mu = 0.25$. Какое расстояние $s$ пройдёт тело до остановки? Принять $g = 9.8\ \text{m/s}^2$.

Брусок массой $m = 0.4\ \text{kg}$ отпускают без начальной скорости с гладкой горки высотой $h = 0.8\ \text{m}$. Затем он проходит по горизонтали шероховатый участок длиной $L = 1.0\ \text{m}$ с коэффициентом трения $\mu = 0.2$ и сжимает невесомую пружину жёсткостью $k = 200\ \text{N/m}$. Найдите максимальное сжатие пружины $x$. Принять $g = 9.8\ \text{m/s}^2$.

Самопроверка в симуляции (безопасно, без реального движения тел). Настоящие горки, прыжки и быстро движущиеся тележки опасны, поэтому работаем в виртуальной лаборатории, например «Energy Skate Park» (PhET).

1. Включите режим без трения, выберите U-образную трассу и точку старта на высоте $h_1$.
2. Зафиксируйте три точки траектории; в каждой запишите высоту $h$ и скорость $v$.
3. Для каждой точки вычислите $E_p = mgh$, $E_k = \frac{mv^2}{2}$ и сумму $E = E_k + E_p$. Убедитесь, что $E$ одинакова во всех точках, и постройте график зависимости $E_k$, $E_p$ и $E$ от высоты.
4. Включите трение и повторите измерения. Найдите изменение полной механической энергии $\Delta E$ и объясните его знаком и величиной работы силы трения $A_{\text{fric}}$.
5. Оформите вывод в виде трёх предложений: когда $E$ сохраняется, почему убывает при трении, какая роль начальной высоты.

Показать, что при движении без трения сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся постоянной, а при наличии трения полная механическая энергия убывает ровно на величину работы силы трения.

Схема трассы (горка с подъёмом и спуском) с отмеченными точками 1, 2, 3 и уровнем отсчёта $h = 0$; рядом с каждой точкой — столбчатая диаграмма энергии: столбец $E_k$, столбец $E_p$ и горизонтальная линия уровня $E = E_k + E_p$. Ниже — график зависимостей $E_k$, $E_p$ и $E$ от координаты $x$ вдоль трассы: две кривые, переходящие друг в друга, и прямая постоянной суммы; на втором графике (с трением) та же прямая медленно наклоняется вниз, отмечая $\Delta E = A_{\text{fric}}$.

Автомобиль массой $1200\ \text{kg}$ движется со скоростью $20\ \text{m/s}$ (около $72\ \text{km/h}$) и останавливается на пути $40\ \text{m}$ по сухой дороге. Начальная кинетическая энергия $K = \frac12 mv^2 = \frac12 \cdot 1200 \cdot 20^2 = 240\,000\ \text{J} = 240\ \text{kJ}$. Так как автомобиль останавливается, $\Delta K = -240\,000\ \text{J}$. Работа силы трения на тормозном пути $W = -F \cdot 40\ \text{m}$; из $W = \Delta K$ получаем $F = 6000\ \text{N}$.

Здесь применяется теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей силы над автомобилем равна изменению его кинетической энергии, $W_{\text{net}} = \Delta K$. Сила трения совершает отрицательную работу и отнимает кинетическую энергию автомобиля. Слагаемое потенциальной энергии не появляется, потому что дорога горизонтальна и $U$ не меняется.

Прыгун с шестом массой $70\ \text{kg}$ разбегается со скоростью $8\ \text{m/s}$ и ставит шест. Непосредственно перед отталкиванием кинетическая энергия равна $K = \frac12 \cdot 70 \cdot 8^2 = 2240\ \text{J}$. Если бы вся эта энергия перешла в гравитационную потенциальную энергию, подъём составил бы $h = \frac{K}{mg} = \frac{2240}{70 \cdot 9.8} \approx 3.3\ \text{m}$, так что центр масс прыгуна мог бы подняться примерно на $3\ \text{m}$ выше высоты отталкивания.

Здесь используется закон сохранения механической энергии: пока прыгун поднимается, $K + U$ остаётся постоянной, $K$ уменьшается, а $U = mgh$ растёт. Максимальный подъём следует из $K_{\text{до}} = mgh_{\text{max}}$. В реальном прыжке шест также запасает упругую энергию и спортсмен совершает дополнительную работу, поэтому действительная высота немного отличается.

Телефон массой $0.20\ \text{kg}$ роняют с высоты $1.5\ \text{m}$ при испытании на прочность. В момент отпускания механическая энергия полностью потенциальна: $E = U = mgh = 0.20 \cdot 9.8 \cdot 1.5 = 2.94\ \text{J}$. Непосредственно перед ударом, если пренебречь сопротивлением воздуха, вся она кинетическая: $K = \frac12 mv^2 = 2.94\ \text{J}$, откуда $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 1.5} \approx 5.4\ \text{m/s}$.

Здесь применяется закон сохранения механической энергии при пренебрежимо малом сопротивлении воздуха: потенциальная энергия на высоте отпускания равна кинетической энергии перед самым ударом, $mgh = \frac12 mv^2$. Сумма $K + U$ остаётся постоянной и равной $2.94\ \text{J}$ во время падения.