Волновое уравнение, распространение, интерференция и дифракция

Волновое уравнение связывает кривизну профиля по координате с ускорением по времени: $\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$ или, в трёх измерениях, $\nabla^2\psi=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$. Оно возникает, когда каждая точка среды ведёт себя как гармонический осциллятор, упруго связанный с соседями, а электромагнитное поле в вакууме удовлетворяет тому же уравнению с $v=c$. Решениями являются бегущие волны $\psi(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$; для гармонической волны $\psi=A\cos(kx-\omega t)$ скорость равна $v=\omega/k$. Благодаря линейности уравнения волны складываются: в каждой точке выполняется суперпозиция, а результат зависит от разности фаз $\Delta\varphi=k\Delta x+\Delta\varphi_0$. Интерференция — это устойчивое распределение амплитуды от наложения когерентных волн: при $\Delta x=m\lambda$ волны приходят в фазе (максимум), при $\Delta x=(m+\tfrac12)\lambda$ — в противофазе (минимум). Дифракция описывается принципом Гюйгенса: каждая точка волнового фронта — источник вторичных волн; для одной щели минимумы наблюдаются при $a\sin\theta=m\lambda$, $m=\pm1,\pm2,\ldots$.

Проверьте подстановкой, что функция $\psi(x,t)=A\sin(kx-\omega t)$ удовлетворяет волновому уравнению $\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}$. Найдите $v$ через $\omega$ и $k$.

Две когерентные волны одинаковой амплитуды $A$ приходят в точку с разностью хода $\Delta x=\lambda/3$; начальные фазы совпадают. Найдите амплитуду результирующей волны и её фазу относительно первой волны.

В опыте Юнга расстояние между щелями $d=0{,}20$ мм, ширина каждой щели $a=0{,}040$ мм, длина волны $\lambda=600$ нм. Определите номер $n$ первого интерференционного максимума, который пропадает из-за первого дифракционного минимума одной щели.

Самоподготовка с симуляцией (без лазера). Откройте PhET «Wave Interference» (или аналогичную симуляцию волновой оптики). 1. Включите режим воды с двумя точечными источниками; изменяйте расстояние между источниками и частоту, наблюдайте линии максимумов и минимумов. 2. Перейдите к свету: для двух щелей измерьте расстояние между соседними максимумами на экране и сравните с $\Delta y=\lambda L/d$. 3. Уменьшите ширину каждой щели до одной и найдите угол первого минимума, проверяя $a\sin\theta=\lambda$. Запишите измеренные и предсказанные значения; не используйте реальные лазеры и не смотрите в прямые источники света.

Показать, как разность хода двух когерентных волн превращается в разность фаз и как суперпозиция создаёт интерференционную картину, а вторичные волны Гюйгенса — дифракционный минимум.

Схема: два источника $S_1$ и $S_2$ на расстоянии $d$, точка $P$ на экране, отрезки $S_1P$ и $S_2P$ с подписанной разностью хода $\Delta x$; справа график результирующей амплитуды $A_{\text{res}}=2A|\cos(\Delta\varphi/2)|$ в зависимости от $\Delta\varphi$ (в радианах). Ниже — геометрия одной щели шириной $a$: волновые фронты вторичных волн, угол $\theta$ и условие минимума $a\sin\theta=m\lambda$.

В спортзале ученица прикрепляет канат длиной 10 м к стене и натягивает его с силой 200 Н. Линейная плотность каната 0,5 кг/м. Она резко дергает один конец, посылая поперечный импульс. Импульс проходит 10 м за 0,5 с, то есть со скоростью 20 м/с.

В этом сценарии используется одномерное волновое уравнение $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ со скоростью $v = \sqrt{T/\mu}$. Движение импульса подчиняется этому уравнению, а скорость определяется натяжением и линейной плотностью.

На школьной вечеринке две одинаковые колонки стоят на сцене на расстоянии 2 м друг от друга. Они излучают чистый тон частотой 686 Гц. Ученик стоит в 3,0 м от левой колонки и в 3,5 м от правой. Скорость звука 343 м/с. Длина волны $\lambda = v/f = 343/686 = 0,5$ м. Разность хода $3,5 - 3,0 = 0,5$ м $= \lambda$, поэтому ученик слышит громкий звук из-за конструктивной интерференции.

Принцип суперпозиции: полное смещение равно сумме двух волн; когда разность хода равна целому числу длин волн, гребни совпадают (конструктивная интерференция). Линейность волнового уравнения делает это возможным.

Телефон воспроизводит тон 1000 Гц. Телефон лежит на столе, а ученик слушает из соседней комнаты через дверной проём шириной 0,9 м. Скорость звука 343 м/с, поэтому длина волны $\lambda = 343/1000 = 0,343$ м. Поскольку $\lambda$ сравнима с шириной проёма, звук огибает края и заполняет комнату, а первый дифракционный минимум наблюдается под углом $\theta \approx \arcsin(\lambda/a) = \arcsin(0,343/0,9) \approx 22^\circ$.

Дифракция возникает, когда волна встречает препятствие или отверстие, сравнимое с её длиной волны; принцип Гюйгенса и волновое уравнение предсказывают это огибание. Звуковая волна от телефона подчиняется волновому уравнению в трёх измерениях.