Закон всемирного тяготения и движение по орбите

Любые две точечные массы притягиваются вдоль соединяющей их прямой с силой $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$, где $G = 6.674\times10^{-11}\ \text{Н·м}^2/\text{кг}^2$, а $r$ — расстояние между центрами тел.

Если тел несколько, силу на каждое находят векторной суммой сил по принципу суперпозиции — так же, как при применении второго закона Ньютона.

Для спутника на круговой орбите тяготение — единственная сила, и она же служит центростремительной: $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}.$

Масса спутника $m$ сокращается, поэтому скорость и период зависят только от массы центрального тела $M$ и радиуса орбиты $r$, отсчитываемого от центра, а не от поверхности: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}.$

Отсюда третий закон Кеплера: для всех спутников одного центрального тела $T^2 \propto r^3$.

Земля имеет массу $M = 5.97\times10^{24}$ кг. Найдите силу притяжения между Землёй и спутником массой $m = 1000$ кг, находящимся на расстоянии $r = 7.0\times10^{6}$ м от центра Земли.

Спутник движется по круговой орбите радиуса $r = 7.0\times10^{6}$ м вокруг Земли ($M = 5.97\times10^{24}$ кг). Найдите скорость спутника и период его обращения.

Геостационарный спутник должен иметь период $T = 86164$ с (звёздные сутки) и двигаться в плоскости экватора. Определите радиус его орбиты и высоту над поверхностью Земли. Дано: $M = 5.97\times10^{24}$ кг, радиус Земли $R_3 = 6.37\times10^{6}$ м.

Самопроверка с помощью симуляции. Реальные орбитальные запуски недоступны и опасны для самостоятельного изучения, поэтому используйте модель: симуляцию PhET «Гравитация и орбиты» (Gravity and Orbits) в режиме «Модель».

1. Включите показ силы тяготения и вектора скорости. Убедитесь, что сила направлена к центральному телу, а скорость — по касательной к орбите.
2. При фиксированной массе центрального тела запишите радиус круговой орбиты $r$ и измеренный период $T$ для 4–5 разных радиусов.
3. Постройте график зависимости $T^2$ от $r^3$. Точки должны лечь на прямую, проходящую через начало координат.
4. Оцените наклон прямой и сравните его с теоретическим значением $4\pi^2/(GM)$.
5. Увеличьте массу центрального тела в 2 раза и проверьте, что при том же радиусе период уменьшается в $\sqrt{2}$ раза.

Показать, что тяготение служит центростремительной силой на круговой орбите, и как скорость и период зависят от радиуса орбиты.

Схема и график.

• Схема: в центре — массивное тело $M$; на расстоянии $r$ от центра — спутник $m$. От спутника к центру проведён вектор силы $\vec{F}$ длиной $G\dfrac{Mm}{r^2}$; вдоль орбиты проведён вектор скорости $\vec{v}$, перпендикулярный $\vec{F}$. Пунктиром показаны две орбиты разных радиусов с подписями $r_1 < r_2$.
• График: по оси абсцисс $r^3$, по оси ординат $T^2$; экспериментальные точки и проведённая через начало координат прямая с угловым коэффициентом $4\pi^2/(GM)$. Подпись: «$T^2 \propto r^3$ — третий закон Кеплера».

Международная космическая станция летает на высоте около $400$ км над поверхностью Земли. Радиус Земли $R = 6{,}371\times10^{6}$ м, значит от центра Земли до станции $r = 6{,}77\times10^{6}$ м. Масса Земли $M = 5{,}97\times10^{24}$ кг, $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$. Расчёт даёт скорость $v=\sqrt{GM/r}\approx 7{,}7$ км/с и период $T=2\pi r/v\approx 5{,}5\times10^{3}$ с, то есть около $92$ минут.

Здесь работает центральная часть теории: единственная сила на станции — притяжение к Земле, $F=GMm/r^2$, и именно она играет роль центростремительной силы $F=mv^2/r$. Приравнивая их, получаем $v=\sqrt{GM/r}$: масса станции $m$ сокращается, поэтому на данной высоте все тела летят с одной и той же скоростью.

Телефон определяет координаты по сигналам спутников GPS, летающих на высоте $20\,200$ км, то есть на расстоянии $r = 2{,}66\times10^{7}$ м от центра Земли. При $M = 5{,}97\times10^{24}$ кг получаем $v=\sqrt{GM/r}\approx 3{,}9$ км/с, а период $T=2\pi r/v\approx 4{,}3\times10^{4}$ с $\approx 12$ ч. Спутник делает два оборота за сутки, поэтому над одной и той же точкой Земли он оказывается в одно и то же время.

Пример проверяет зависимость орбитальных величин от радиуса: сравнив GPS-спутник с МКС, видим, что при росте $r$ в $3{,}9$ раза скорость падает примерно в $2$ раза ($7{,}7/3{,}9\approx 2$), а период растёт. Это и есть третий закон Кеплера $T^2\propto r^3$, который прямо следует из $F=GMm/r^2$ и $F=mv^2/r$.

Прыгун массой $70$ кг отталкивается со скоростью $5{,}0$ м/с и поднимается на $1{,}3$ м. У поверхности Земли $g=GM/R^2=6{,}67\times10^{-11}\cdot5{,}97\times10^{24}/(6{,}371\times10^{6})^2\approx 9{,}8$ м/с$^2$, поэтому его вес $mg\approx 687$ Н. За время прыжка расстояние до центра Земли меняется на $1{,}3$ м, то есть на долю $1{,}3/6{,}371\times10^{6}\approx 2\times10^{-7}$; по закону обратных квадратов вес меняется лишь на $70\cdot9{,}8\cdot4\times10^{-7}\approx 3\times10^{-4}$ Н.

Пример показывает, что «вес» — это та же сила всемирного тяготения $F=GMm/R^2$, только приложенная у поверхности планеты, а ускорение свободного падения $g=GM/R^2$ не зависит от массы прыгуна. Обратная пропорциональность $1/R^2$ объясняет, почему на высоте прыжка изменением $g$ можно пренебречь, а на высоте орбиты МКС — уже нельзя.