Формула тонкой линзы, увеличение и оптические приборы

Тонкая линза описывается формулой $1/f = 1/d_o + 1/d_i,$ где $f$ — фокусное расстояние, $d_o$ — расстояние от предмета до линзы, $d_i$ — расстояние от изображения до линзы. В соглашении «действительное положительно» для собирающей линзы $f>0$, для рассеивающей $f<0$, а действительные предмет и изображение берутся со знаком $+$, мнимые — со знаком $-$. Линейное увеличение $m = h_i/h_o = -d_i/d_o$: знак $m$ показывает ориентацию (минус — перевёрнутое изображение), а $|m|$ — во сколько раз изображение больше предмета. Оптические приборы — лупа, микроскоп, телескоп, фотоаппарат — сводятся к одной или нескольким линзам, поэтому их расчёт начинается с формулы тонкой линзы и увеличения. Границы применимости: параксиальные лучи вблизи главной оптической оси и тонкая линза без учёта аберраций. Для двух тонких линз вплотную оптические силы складываются: $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$.

Собирающая линза имеет $f = 10$ см. Предмет расположен на расстоянии $d_o = 15$ см от линзы. Найдите $d_i$ и $m$, укажите, действительное ли изображение и как оно ориентировано.

В проекторе слайд освещают собирающей линзой с $f = 10.0$ см, а резкое изображение получают на экране, стоящем на $d_i = 2.00$ м от линзы. Найдите расстояние от слайда до линзы и увеличение; объясните, как нужно вставлять слайд.

Две тонкие линзы сложены вплотную: собирающая с $f_1 = +20$ см и рассеивающая с $f_2 = -30$ см. Предмет находится на $d_o = 30$ см перед этой системой. Найдите эквивалентное фокусное расстояние $F$, расстояние до изображения $d_i$, увеличение $m$ и опишите изображение; укажите роль рассеивающей линзы.

Безопасное самостоятельное занятие: возьмите собирающую линзу (лупу) и отведите её от окна к белому экрану (лист бумаги), пока на экране не получится резкое изображение удалённого объекта (дерева или фонаря за окном). Измерьте расстояние от линзы до экрана — это приблизительно $f$. Затем поместите небольшой предмет (например, монету) на расстояниях $d_o = f/2$, $d_o = 3f/2$ и $d_o = 2f$ и наблюдайте изображение; для количественной проверки постройте график $1/d_i$ от $1/d_o$ и убедитесь, что точки ложатся на прямую с наклоном $-1$ и пересечением $1/f$. Никогда не направляйте линзу на Солнце: сфокусированный свет может вызвать ожог и повредить зрение, поэтому солнечные наблюдения выполняйте только в симуляции (например, PhET «Геометрическая оптика»).

Показать, как формула тонкой линзы связывает расстояния до предмета и изображения с фокусным расстоянием и как знак $m$ кодирует ориентацию изображения.

Схема хода трёх главных лучей через собирающую линзу с отмеченными $f$, $d_o$, $d_i$ и высотами $h_o$, $h_i$, рядом — график $1/d_i$ от $1/d_o$: прямая с наклоном $-1$ и пересечением $1/f$.

Вы фотографируете друга, стоящего на расстоянии $1.5\ \text{м}$. Главный объектив телефона имеет фокусное расстояние $f = 4.3\ \text{мм} = 4.3\times10^{-3}\ \text{м}$. При декартовом соглашении $u = -1.5\ \text{м}$ формула тонкой линзы даёт $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{4.3\times10^{-3}} + \frac{1}{-1.5} = 232.6 - 0.67 \approx 231.9\ \text{м}^{-1}$, откуда $v = 4.31\times10^{-3}\ \text{м} = 4.31\ \text{мм}$. Значит, матрица расположена в $4.31\ \text{мм}$ за объективом. Линейное увеличение равно $m = \frac{v}{u} = \frac{4.31\times10^{-3}}{-1.5} = -2.9\times10^{-3}$, поэтому ваш друг ростом $1.7\ \text{м}$ даёт изображение высотой $1.7 \times 2.9\times10^{-3} = 4.9\ \text{мм}$ на матрице.

Здесь работает формула тонкой линзы, решённая относительно $v$ при $u$, много большем $f$, и определение поперечного увеличения $m = v/u$. Отрицательный знак $m$ показывает, что изображение на матрице действительное и перевёрнутое.

На очках для чтения написано $+2.0\ \text{дптр}$, значит их фокусное расстояние $f = 1/2.0\ \text{дптр} = 0.50\ \text{м} = 50\ \text{см}$. Вы держите книгу в $25\ \text{см}$ перед линзой: $u = -25\ \text{см}$. Тогда $\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = -\frac{1}{50}$, откуда $v = -50\ \text{см}$ и $m = v/u = (-50)/(-25) = +2.0$. Изображение мнимое, прямое и вдвое больше, находится в $50\ \text{см}$ перед линзой.

Проверяется правило знаков: отрицательное расстояние до изображения означает мнимое изображение с той же стороны, что и предмет, а положительное увеличение — что оно прямое. Именно так собирающая линза работает как лупа, когда предмет лежит внутри фокусного расстояния ($25\ \text{см} < 50\ \text{см}$).

Школьный проектор имеет $f = 10\ \text{см} = 0.10\ \text{м}$ и даёт изображение на экране в $2.0\ \text{м}$ от объектива, то есть $v = +2.0\ \text{м}$. Из $\frac{1}{u} = \frac{1}{v} - \frac{1}{f} = \frac{1}{2.0} - \frac{1}{0.10} = 0.50 - 10 = -9.5\ \text{м}^{-1}$ получаем $u = -0.105\ \text{м} = -10.5\ \text{см}$: слайд стоит чуть дальше фокуса. Увеличение $m = v/u = 2.0/(-0.105) = -19$, поэтому слайд шириной $36\ \text{мм}$ даёт на экране изображение шириной $36\ \text{мм} \times 19 = 684\ \text{мм} \approx 68\ \text{см}$, перевёрнутое.

Используется та же формула тонкой линзы, перестроенная для действительного изображения ($v > 0$) при $|u|$, немного большем $f$, и увеличение $m = v/u$ для предсказания размера изображения. Отрицательное $m$ объясняет, почему слайды вставляют перевёрнутыми.