Проверка упрощённой модели движения: от гипотезы к данным (необязательное занятие)

Упрощённая модель движения заменяет тело материальной точкой и предсказывает координату по формуле

$$x_{\text{model}}(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2,$$

считая ускорение постоянным и пренебрегая сопротивлением среды.

Данные видеотрекинга или датчика дают пары $(t_i,x_i)$ с погрешностью $\sigma_x$, поэтому проверять модель «на глаз» нельзя — нужно вычислять остатки $r_i=x_i-x_{\text{model}}(t_i)$.

Если $|r_i|$ сравнимы с $\sigma_x$ и не имеют тренда, модель адекватна в пределах разрешения измерений.

Систематический тренд указывает на нарушенное допущение: остаток, растущий как $t$, — это сдвиг начала отсчёта времени, а растущий как $t^3$ — слабое линейное сопротивление воздуха.

Проверка заканчивается решением: принять модель, уточнить её или отклонить, и формулировкой следующей измеримой гипотезы.

Модель постоянной скорости задана как $x_{\text{model}}(t)=0.50+1.20\,t$ (единицы СИ). Видеотрекинг дал координаты $x$ = 0.52, 1.68, 2.82, 3.94 м в моменты $t$ = 0, 1, 2, 3 с. Погрешность измерения $\sigma_x=0.03$ м. Вычислите остатки и решите, согласуется ли модель с данными.

Тележка скатывается по наклонному жёлобу. Данные: $t$ = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 с; $x$ = 0.000, 0.038, 0.150, 0.336, 0.596 м; $\sigma_x=0.005$ м. Оцените ускорение по вторым разностям, постройте модель $x=\frac{1}{2}at^2$ (при $x_0=0$, $v_0\approx 0$), вычислите остатки и проверьте модель.

Шар отпускают без начальной скорости, модель $x_{\text{model}}(t)=\frac{1}{2}gt^2$ с $g=9.8$ м/с². Остатки: $r$ = $-0.001$, $-0.008$, $-0.027$, $-0.064$ м при $t$ = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 с; $\sigma_x=0.001$ м. Одногруппник утверждает: «это просто сдвиг начала отсчёта времени». Проверьте это утверждение, выяснив, как остаток масштабируется с $t$, $t^2$ и $t^3$; решите, какой механизм подтверждается, и сформулируйте уточнённую гипотезу вместе с одним измерением для её проверки.

Работайте в безопасных условиях и предпочитайте моделирование, если измерения пришлось бы делать с высоты или с быстрыми объектами.

1. Выберите модель: постоянная скорость для игрушечной машинки на гладком полу или равноускоренное движение для шарика, скатывающегося по низкому жёлобу (высота не более 10 см), либо используйте симуляцию (PhET, готовые примеры Tracker).
2. Снимите видео на телефон под прямым углом к плоскости движения, положите в кадр линейку для масштаба; извлеките пары $(t_i,x_i)$ с шагом 0.2 с.
3. В таблице вычислите $x_{\text{model}}(t_i)$, остатки $r_i=x_i-x_{\text{model}}(t_i)$ и постройте график $r$ от $t$.
4. Сравните $|r_i|$ с $\sigma_x$ и определите тип тренда: случайный, $\propto t$ или $\propto t^3$.
5. Запишите решение: принять модель, уточнить допущение (например, добавить сопротивление) или отклонить, и предложите следующий измеримый тест.

Не бросайте тяжёлые предметы, не используйте лестницы и не проводите измерения рядом с движущимся транспортом.

Показать, что об адекватности упрощённой модели судят по структуре остатков, а не по величине отдельного расхождения, и что вид тренда указывает на конкретное нарушенное допущение.

Схема из двух панелей. Сверху — график $x$ от $t$: точки данных и кривая модели $x_{\text{model}}(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$. Снизу — график остатков $r_i=x_i-x_{\text{model}}(t_i)$ от $t$ с полосой $\pm\sigma_x$, на котором слева направо показаны три схематических случая: случайное облако (модель адекватна), линейный рост $r\propto t$ (сдвиг времени) и рост $r\propto t^3$ (сопротивление воздуха). Каждый случай подписан соответствующим механизмом.

Приложение в телефоне фиксирует время бегуна на отметках 20, 40, 60, 80 и 100 м: 2.9 с, 5.0 с, 7.0 с, 9.0 с, 10.5 с. Простая модель считает скорость постоянной, $v = 10.0\ \text{м/с}$, то есть $s = vt$, и предсказывает 2.0, 4.0, 6.0, 8.0 и 10.0 с.

Разности «измерение минус модель» (невязки) равны $+0.9$, $+1.0$, $+1.0$, $+1.0$ и $+0.5$ с: знак у них одинаковый, а не разбросанный, значит модель систематически ошибается на старте. Это указывает на разгонный участок $s = \frac12 a t^2$: модель уточняют по данным, а не отбрасывают.

Автомобилю нужно проехать $150\ \text{км}$ по трассе; модель задаёт постоянную скорость $100\ \text{км/ч}$, откуда $t = s/v = 1.5\ \text{ч} = 90\ \text{мин}$. Часы и одометр дают $118\ \text{мин}$, из них $12\ \text{мин}$ — стоянка на заправке; в движении спидометр колеблется от $90$ до $110\ \text{км/ч}$.

Невязка $+28\ \text{мин}$ распадается на слагаемое, которого в модели нет ($12\ \text{мин}$ стоянки), и остаток $16\ \text{мин}$, объясняемый разбросом скорости вокруг $100\ \text{км/ч}$. Проверка модели отделяет пропущенный член от случайного разброса.

Мяч роняют с высоты $h = 1.80\ \text{м}$, телефон снимает падение с частотой $240\ \text{кадр/с}$, поэтому соседние кадры разделены $1/240\ \text{с} \approx 4.2\ \text{мс}$. Модель свободного падения без сопротивления воздуха $h = \frac12 g t^2$ даёт $t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2\cdot 1.80/9.81} = 0.606\ \text{с}$. По кадрам получается $0.63 \pm 0.01\ \text{с}$.

Невязка $0.024\ \text{с}$ (около $4\%$) больше интервала между кадрами и погрешности момента отпускания, значит модель без сопротивления воздуха проверку не проходит и требует члена сопротивления ($\sim v^2$). Именно здесь работают оценка движения по видео и её временное разрешение.