Температурные шкалы и тепловое расширение: практическое руководство

Температура — это мера средней кинетической энергии теплового движения частиц, поэтому для её измерения нужна шкала с опорными точками. В шкале Цельсия $0\,^\circ\text{C}$ — плавление льда, $100\,^\circ\text{C}$ — кипение воды при нормальном давлении, а абсолютная шкала Кельвина сдвинута так, что $T = t + 273{,}15$.

Цена деления у шкал Цельсия и Кельвина одинакова: $\Delta T = \Delta t$, поэтому в формулы теплового расширения можно подставлять разность температур в любой из этих единиц. Шкала Фаренгейта задаётся соотношением $t_F = \frac{9}{5}t + 32$, а для разностей температур $\Delta t_F = \frac{9}{5}\Delta t$.

При нагревании средние расстояния между частицами растут, поэтому увеличиваются все линейные размеры тела. Для твёрдого тела в узком интервале температур $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$, где $\alpha$ — коэффициент линейного расширения. Объём растёт как $V = V_0(1 + \beta \Delta T)$, и для изотропного твёрдого тела $\beta \approx 3\alpha$.

Переведите $25\,^\circ\text{C}$ в кельвины и в градусы Фаренгейта. Чему равна разность температур $\Delta t = 10\,^\circ\text{C}$ в кельвинах и в градусах Фаренгейта?

Стальной рельс при $20\,^\circ\text{C}$ имеет длину $L_0 = 12{,}0$ м, коэффициент линейного расширения $\alpha = 1{,}2\cdot 10^{-5}\ \text{К}^{-1}$. Найдите $\Delta L$ и длину рельса при $50\,^\circ\text{C}$.

В алюминиевой пластине ($\alpha = 2{,}3\cdot 10^{-5}\ \text{К}^{-1}$) при $20\,^\circ\text{C}$ сделано круглое отверстие диаметром $d_0 = 5{,}000$ см. Пластину нагрели до $120\,^\circ\text{C}$. Увеличится отверстие или уменьшится? Найдите новый диаметр и сравните результат с расширением сплошного диска того же диаметра.

Симуляция теплового расширения (нагревать реальные металлические предметы открытым пламенем не нужно).

1. Откройте интерактивную модель теплового расширения (например, PhET или аналог) и выберите стальной стержень с $L_0 = 1{,}00$ м и $\alpha = 1{,}2\cdot 10^{-5}\ \text{К}^{-1}$.
2. Запишите длину $L$ при $\Delta T = 0,\ 10,\ 20,\ 30,\ 40,\ 50$ К и найдите $\Delta L$ для каждого значения.
3. Постройте график $\Delta L$ от $\Delta T$ и убедитесь, что получается прямая через начало координат с угловым коэффициентом $\alpha L_0$.
4. Повторите опыт для алюминия: его $\alpha$ примерно вдвое больше, поэтому наклон прямой должен быть примерно вдвое круче. Проверьте это численно.
5. Включите в модели биметаллическую пластину и опишите, в какую сторону она изгибается при нагреве, если коэффициенты $\alpha$ слоёв различаются.
6. Завершите выводом в 2–3 предложениях: как связаны наклон графика, $\alpha$ и $L_0$ и почему зазоры в мостах и рельсах — не ошибка строителей, а следствие расширения.

Показать, что шкалы Цельсия и Кельвина имеют одинаковую цену деления и разный нуль, а длина твёрдого тела растёт линейно с $\Delta T$; связать наклон графика с произведением $\alpha L_0$ и объяснить изгиб биметаллической пластины.

Схема из трёх частей.

• Слева — три вертикальные шкалы ($^\circ$C, K, $^\circ$F) с разными нулями: цена деления Цельсия и Кельвина одинакова ($\Delta T = \Delta t$), а градус Фаренгейта в $5/9$ раза меньше градуса Цельсия ($\Delta t_F = \frac{9}{5}\Delta t$); рядом подписи $T = t + 273{,}15$ и $t_F = \frac{9}{5}t + 32$.
• В центре — график $\Delta L$ от $\Delta T$: две прямые через начало координат, наклон первой равен $\alpha_{\text{ст}}L_0$, наклон второй — $\alpha_{\text{Al}}L_0$ (у алюминия круче).
• Справа — эскиз биметаллической пластины: при $\Delta T = 0$ она прямая, при нагреве изгибается дугой в сторону слоя с меньшим $\alpha$.

Стальной пролёт моста длиной $L_0 = 200\ \text{m}$ летом нагревается до $+40\ ^\circ\text{C}$, а зимой остывает до $-20\ ^\circ\text{C}$. Коэффициент линейного расширения стали $\alpha \approx 1.2\times10^{-5}\ \text{K}^{-1}$.

Работает формула линейного теплового расширения $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$. При $\Delta T = 40 - (-20) = 60\ \text{K}$ пролёт удлиняется на $\Delta L = 200 \cdot 1.2\times10^{-5} \cdot 60 = 0.144\ \text{m}$, то есть на $14.4\ \text{cm}$; ровно такой зазор и оставляет деформационный шов, иначе в стыке возникли бы огромные силы. Обратите внимание: в формулу входит разность температур, а она одинакова и в градусах Цельсия, и в кельвинах.

Металлическая (алюминиевая) крышка диаметром $d_0 = 8.0\ \text{cm}$ плотно закручена на стеклянной банке. Крышку обдают горячей водой, и её температура поднимается от $20\ ^\circ\text{C}$ до $80\ ^\circ\text{C}$, то есть на $\Delta T = 60\ \text{K}$.

Для алюминия $\alpha \approx 2.3\times10^{-5}\ \text{K}^{-1}$, поэтому по той же формуле линейного расширения $\Delta d = \alpha d_0 \Delta T = 0.08 \cdot 2.3\times10^{-5} \cdot 60 \approx 1.1\times10^{-4}\ \text{m} = 0.11\ \text{mm}$. Стекло расширяется примерно в $2.5$ раза слабее, и крышка перестаёт «держать» горловину — это прямое применение закона линейного теплового расширения к твёрдым телам.

В морозный день приложение погоды на телефоне показывает $-15\ ^\circ\text{C}$, а табло в аэропорту, куда вы летите, — $5\ ^\circ\text{F}$. В метеосводке та же температура приведена в абсолютной шкале: $T = 258.15\ \text{K}$.

Здесь работает соглашение о температурных шкалах: $T_F = 1.8\,T_C + 32$ и $T = T_C + 273.15$. Проверка: $1.8 \cdot (-15) + 32 = 5\ ^\circ\text{F}$ и $-15 + 273.15 = 258.15\ \text{K}$. Опорные точки — тающий лёд ($0\ ^\circ\text{C} = 32\ ^\circ\text{F} = 273.15\ \text{K}$) и кипящая вода при нормальном давлении ($100\ ^\circ\text{C} = 212\ ^\circ\text{F}$); шкала Кельвина начинается с абсолютного нуля.