Поверхностное натяжение, капиллярность и давление Лапласа

Молекулы на поверхности жидкости имеют меньше соседей, чем в объёме, поэтому их потенциальная энергия выше, и жидкость стремится сократить площадь свободной поверхности. Количественно это описывает поверхностное натяжение $\sigma$: сила, действующая вдоль контура, равна $F = \sigma L$, а поверхностная энергия — $E = \sigma S$.

Искривлённая поверхность создаёт скачок давления — давление Лапласа: для произвольной поверхности $\Delta p = \sigma\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\right)$, для сферической капли $\Delta p = \dfrac{2\sigma}{R}$, а для мыльного пузыря с двумя поверхностями $\Delta p = \dfrac{4\sigma}{R}$.

В капилляре радиуса $r$ этот скачок уравновешивается гидростатическим давлением столба жидкости высотой $h$, что даёт закон Жюрена: $h = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}$, где $\theta$ — краевой угол смачивания. При $\theta < 90^\circ$ жидкость поднимается, при $\theta > 90^\circ$ опускается; чем меньше радиус капилляра, тем больше высота подъёма.

Проволочная рамка с подвижной перекладиной длиной $L = 5{,}0$ см затянута мыльной плёнкой. Поверхностное натяжение мыльного раствора $\sigma = 0{,}025\ \mathrm{N/m}$. Найдите силу поверхностного натяжения, действующую на перекладину.

В стеклянном капилляре радиусом $r = 0{,}25$ мм вода поднимается. Считая смачивание полным ($\theta = 0^\circ$), а $\sigma = 0{,}072\ \mathrm{N/m}$, $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$, $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$, найдите высоту подъёма $h$.

Стеклянный капилляр радиусом $r = 0{,}50$ мм опущен в ртуть. Известно, что $\sigma = 0{,}465\ \mathrm{N/m}$, $\rho = 13600\ \mathrm{kg/m^3}$, $\theta = 140^\circ$, $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$. Определите, поднимется или опустится ртуть в капилляре, на сколько и объясните знак ответа через давление Лапласа.

Самостоятельная работа. Постройте в электронной таблице модель капиллярного подъёма. Столбцы: $r$ (от $0{,}05$ до $1{,}0$ мм), $\sigma$, $\theta$, $\rho$, $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ и формула Жюрена для $h$. Постройте график $h$ от $1/r$ и убедитесь, что он линеен; по наклону найдите $\dfrac{2\sigma\cos\theta}{\rho g}$. Повторите расчёт для ртути ($\theta = 140^\circ$) и объясните смену знака. Дополнительно можно безопасно наблюдать подъём воды в полоске бумажного полотенца, опущенной в воду, и измерить высоту линейкой. Не используйте кипяток и горячие жидкости; любые опыты со ртутью выполняйте только в симуляции.

Показать связь кривизны поверхности с давлением Лапласа и объяснить, как равновесие этого давления с гидростатическим приводит к капиллярному подъёму или опусканию.

Схема: вертикальный капилляр радиуса $r$ в сосуде с жидкостью; показаны мениск, краевой угол $\theta$, высота $h$ от уровня в сосуде до дна мениска и стрелки давлений $p_{\mathrm{atm}}$ и $p_{\mathrm{atm}} - \Delta p$. Рядом — график $h$ от $1/r$: прямая с наклоном $\dfrac{2\sigma\cos\theta}{\rho g}$, уходящая в отрицательную область при $\theta > 90^\circ$.

На столе разлито $200\,\text{мл}$ воды. Бумажное полотенце состоит из целлюлозных волокон, между которыми остаются поры радиусом около $r = 3{,}0\times10^{-5}\,\text{м}$. Вода хорошо смачивает целлюлозу, краевой угол $\theta \approx 20^\circ$, $\gamma = 0{,}072\,\text{Н/м}$, $\rho = 998\,\text{кг/м}^3$. Столбик жидкости поднимается на

$$h = \frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r} = \frac{2(0{,}072)(0{,}94)}{(998)(9{,}81)(3{,}0\times10^{-5})} \approx 0{,}46\,\text{м},$$

то есть примерно на $46\,\text{см}$ — больше высоты самого полотенца, поэтому лист пропитывается насквозь, а не просто становится влажным сверху.

Это капиллярность в узкой поре. Сила поверхностного натяжения действует по периметру мениска: $F = 2\pi r\,\gamma\cos\theta$, и она поднимает столбик жидкости против его веса $\rho g h\,\pi r^2$. Приравнивание этих двух выражений и даёт закон Жюрена. Зависимость $\propto 1/r$ объясняет, почему более узкие поры впитывают воду выше: у полотенца с $r = 3\,\mu\text{м}$ та же формула дала бы $h \approx 4{,}6\,\text{м}$.

Отверстия динамика и микрофона смартфона закрыты сеткой с порами радиусом $r = 1{,}5\times10^{-5}\,\text{м}$ и гидрофобным покрытием. Для воды $\gamma = 0{,}072\,\text{Н/м}$, поэтому на входе в пору возникает скачок давления

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r} = \frac{2(0{,}072)}{1{,}5\times10^{-5}} \approx 9{,}6\times10^{3}\,\text{Па}.$$

Такому давлению соответствует столб воды $h = \dfrac{\Delta p}{\rho g} = \dfrac{9600}{(1000)(9{,}81)} \approx 0{,}98\,\text{м}$. Капля дождя или брызги такой перепад не создают, и вода в корпус не проходит.

Здесь работает давление Лапласа на искривлённом мениске: разность давлений между водой и воздухом $\Delta p = 2\gamma/r$ для сферической поверхности. Формула показывает и предел защиты: если уронить телефон в воду глубже примерно $1\,\text{м}$, гидростатическое давление $\rho g h$ превысит лапласовский барьер и сетка начнёт пропускать воду. Гидрофобное покрытие с $\theta > 90^\circ$ дополнительно снижает порог прорыва, потому что мениск становится выпуклым в сторону воды.

Велосипедист едет под дождём со скоростью $8\,\text{м/с}$; на водоотталкивающей куртке капли собираются в шарики радиусом $r = 0{,}5\,\text{мм} = 5{,}0\times10^{-4}\,\text{м}$. Внутри такой капли

$$\Delta p = \frac{2\gamma}{r} = \frac{2(0{,}072)}{5{,}0\times10^{-4}} \approx 2{,}9\times10^{2}\,\text{Па},$$

это меньше $0{,}3\,\%$ атмосферного давления $1{,}01\times10^{5}\,\text{Па}$. Но уменьшите ту же каплю до размера туманной капельки $r = 1\,\mu\text{м} = 1{,}0\times10^{-6}\,\text{м}$, и $\Delta p = 2(0{,}072)/(1{,}0\times10^{-6}) \approx 1{,}4\times10^{5}\,\text{Па}$ — уже больше одной атмосферы.

Это закон $\Delta p = 2\gamma/r$: чем меньше радиус кривизны, тем сильнее поверхностное натяжение сжимает содержимое капли. При $r = 50\,\text{нм}$ давление внутри достигает $2{,}9\times10^{6}\,\text{Па}$ — около $29\,\text{атм}$. Именно этот рост давления повышает равновесную упругость пара над мелкими каплями (эффект Кельвина), поэтому в чистом воздухе капельки тумана не зарождаются без пересыщения пара или пылинок-ядер конденсации.