Стоячие волны, звук и акустический резонанс

Стоячая волна возникает, когда бегущая волна и её отражение от границы интерферируют, имея одинаковую частоту и противоположные направления распространения. Волновое уравнение допускает суперпозицию таких волн; при определённых длинах системы отражения складываются в фазе и образуют устойчивые узлы и пучности. Узлы — это точки, где соответствующая величина (смещение или давление) не меняется во времени и равна нулю для выбранной величины, а пучности — точки максимальной амплитуды. Граничные условия задают картину: закреплённый конец струны и закрытый конец трубы являются узлами смещения, а открытый конец трубы — пучностью смещения и узлом давления. Резонанс наступает, когда внешняя частота совпадает с собственной частотой системы, и энергия эффективно переходит в стоячую волну большой амплитуды. Для струны с двумя закреплёнными концами $L=n\frac{\lambda}{2}$ и $f_n=n\frac{v}{2L}$; для трубы, открытой с обоих концов, те же формулы; для трубы, закрытой с одного конца, $L=(2n-1)\frac{\lambda}{4}$ и $f_n=(2n-1)\frac{v}{4L}$, где $n=1,2,3,\ldots$.

Струна длиной $L=0.80$ м закреплена с двух концов. Скорость волны в струне $v=120$ м/с. Найдите длину волны и частоту основной моды, а также частоту следующей моды.

Труба длиной $L=0.25$ м закрыта с одного конца и открыта с другого. Скорость звука $v=343$ м/с. Найдите первые три резонансные частоты, пренебрегая концевой поправкой.

В лабораторной установке звук камертона возбуждает резонанс в трубе с изменяющимся уровнем воды. Резонанс слышен при длинах воздушного столба $0.17$ м, $0.51$ м и $0.85$ м. Скорость звука $343$ м/с. Определите длину волны и частоту камертона. Почему расстояния между соседними резонансами одинаковы?

Безопасная самостоятельная работа с симуляцией.

1. Откройте онлайн-симуляцию стоячих волн или звуковых труб (например, PhET «Wave Interference» или «Sound»).
2. Выберите струну с двумя закреплёнными концами. Меняя частоту, найдите первую, вторую и третью моды; запишите $L$, $f$ и $v$ из симуляции.
3. Проверьте формулы $f_n=n\frac{v}{2L}$ и $L=n\frac{\lambda}{2}$.
4. Переключитесь на трубу, закрытую с одного конца. Найдите первые три резонанса и проверьте $f_n=(2n-1)\frac{v}{4L}$.
5. Сделайте вывод: какие узлы и пучности видны на открытом и закрытом концах? Не используйте громкий звук; при работе с реальным тоном держите уровень комфортно низким.

Показать, как граничные условия отбирают разрешённые моды стоячей волны и где располагаются узлы и пучности смещения и давления.

Схема в виде трёх панелей:

• струна с закреплёнными концами: основная мода и вторая мода, отмечены узлы (N) и пучности (A);
• труба, открытая с обоих концов: узлы давления и пучности смещения на открытых концах;
• труба, закрытая с одного конца: узел смещения на закрытом конце, пучность смещения на открытом конце.
  Рядом записаны $L=n\frac{\lambda}{2}$ и $L=(2n-1)\frac{\lambda}{4}$.

Самая толстая струна гитары закреплена с двух концов; её колеблющаяся длина $L = 0.65\ \text{m}$, и она звучит нотой E2 при $f = 82.4\ \text{Hz}$. Стоячая волна на ней имеет длину волны $\lambda = 2L = 1.30\ \text{m}$, поэтому скорость волны вдоль струны $v = f\lambda = 82.4\ \text{Hz} \times 1.30\ \text{m} \approx 107\ \text{m/s}$. Прижатие на 12-м ладу уменьшает свободную длину вдвое, до $0.325\ \text{m}$, и та же струна звучит на $164.8\ \text{Hz}$ — на октаву выше.

Закреплённые концы задают узлы смещения, поэтому сохраняться могут только длины, содержащие целое число полуволн, $L = n\lambda/2$; $n=1$ — основная мода, а 12-й лад выбирает $n=1$ для струны вдвое меньшей длины. Изменение натяжения меняет $v$ через волновое уравнение и потому сдвигает все резонансные частоты $f_n = n v/(2L)$.

Если дуть над горлышком бутылки, воздушный столб внутри приходит в резонанс. Бутылка налита водой так, что воздушный столб имеет длину $L = 0.15\ \text{m}$, закрыт поверхностью воды снизу и открыт сверху; он звучит вблизи $f = v/(4L) = 343\ \text{m/s}/(4 \times 0.15\ \text{m}) \approx 572\ \text{Hz}$. Если долить воды и укоротить столб до $0.10\ \text{m}$, высота тона поднимается примерно до $858\ \text{Hz}$.

Один конец — узел смещения (поверхность воды), другой — пучность (открытый воздух), поэтому наименьшая стоячая волна укладывается в четверть длины волны, $L = \lambda/4$, а далее идут нечётные гармоники $f_n = (2n-1)v/(4L)$. Струя воздуха даёт широкополосный шум, и столб откликается только на частоты, совпадающие с его собственными модами стоячей волны.

Салон автомобиля длиной около $L = 2.8\ \text{m}$ между лобовым и задним стеклом ведёт себя как труба с воздухом. При $v = 343\ \text{m/s}$ низшая продольная стоячая волна имеет $f = v/(2L) = 343\ \text{m/s}/(2 \times 2.8\ \text{m}) \approx 61\ \text{Hz}$. Поэтому шум двигателя и дороги вблизи $60\ \text{Hz}$ слышится заметно громче соседних частот, а приоткрытое на несколько сантиметров заднее окно сдвигает резонанс и ослабляет гул.

Звуковые волны, отражённые от стёкол, складываются с падающими; когда длина салона равна целому числу полуволн, $L = n\lambda/2$, конструктивная интерференция создаёт большие пучности давления в одних точках и узлы в других. Это акустический резонанс ограниченного объёма воздуха — то же условие стоячей волны, что и в трубе.