Устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие

Равновесие твёрдого тела означает выполнение условий $\sum \vec F = 0$ и $\sum \vec M = 0$, но эти условия ничего не говорят о поведении тела при малом смещении.

Поэтому различают три типа равновесия. Если после малого отклонения возникает момент, возвращающий тело назад, равновесие устойчивое; если тело продолжает удаляться от положения равновесия — неустойчивое; если при смещении не возникает ни возврата, ни удаления — безразличное.

Энергетический критерий: в устойчивом равновесии потенциальная энергия $U$ минимальна, в неустойчивом — максимальна, в безразличном — постоянна. Для малого угла $\theta$ момент равен $M \approx -\left.\dfrac{d^2U}{d\theta^2}\right|_0 \theta$, поэтому знак второй производной задаёт тип равновесия.

Практическое правило: при малом отклонении центр тяжести устойчивой системы поднимается, неустойчивой — опускается, безразличной — остаётся на той же высоте $z_{\text{цт}} = \text{const}$.

Именно поэтому тело на широкой опоре устойчиво, тело на острие неустойчиво, а шар на горизонтальной плоскости находится в безразличном равновесии.

Однородный стержень длиной $L = 1{,}0$ м закреплён на горизонтальной оси, проходящей через его середину, и покоится горизонтально. Стержень отклонили на малый угол $5^\circ$ и отпустили. Определите тип равновесия.

Брусок массой $m = 12$ кг стоит на горизонтальном полу; ширина основания $b = 0{,}30$ м, высота $h = 0{,}60$ м. Брусок наклонили на угол $\theta = 10^\circ$ вокруг нижнего ребра. Найдите возвращающий момент и предельный угол опрокидывания.

В однородном стержне длиной $L = 0{,}80$ м просверлено отверстие для оси на расстоянии $d$ от верхнего конца. Стержень подвешен на горизонтальной оси и может свободно поворачиваться в вертикальной плоскости. Определите тип вертикального равновесия для $d = 0{,}10$ м, $d = 0{,}40$ м и $d = 0{,}60$ м и найдите условие устойчивости в общем виде.

Качественный эксперимент на столе (безопасный). Возьмите три предмета: плоскую монету, ластик и шарик. Все действия выполняйте на полу или на низком широком столе, подальше от края.

1. Положите шарик на горизонтальную поверхность стола. Слегка толкните его: он не возвращается и не убегает сам по себе — это модель безразличного равновесия ($U = \text{const}$).
2. Поставьте ластик на широкое основание. Наклоните его на небольшой угол $\theta \approx 10^\circ$ и отпустите: он возвращается — устойчивое равновесие, центр тяжести поднимался.
3. Поставьте ластик на узкое ребро (или монету на ребро) и попробуйте удержать вертикально: малейшее отклонение ведёт к падению — неустойчивое равновесие ($U$ максимальна).
4. Количественная часть. Измерьте ширину основания $b$ и высоту $h$ ластика линейкой и вычислите $\theta_c = \arctan\frac{b}{h}.$ Проверьте, что при наклоне меньше $\theta_c$ предмет возвращается, а при большем — опрокидывается.

Если нет устойчивой поверхности для опытов с наклоном, используйте компьютерную симуляцию равновесия (например, модель маятника с осью выше и ниже центра масс): задавайте положение оси $d$ и наблюдайте, как меняется тип равновесия. Симуляция предпочтительна для любых опытов с высокой опорой, стеклом или тяжёлыми грузами.

Показать, что тип равновесия однозначно определяется тем, как меняется высота центра тяжести (и потенциальная энергия) при малом отклонении.

Схема из трёх панелей с шариком на поверхности: (а) в вогнутой чаше — устойчивое равновесие, стрелка возвращает шарик к дну; (б) на вершине горки — неустойчивое, стрелка уводит шарик в сторону; (в) на горизонтальной плоскости — безразличное, стрелки нет. Рядом — общий график $U(\theta)$: минимум при $\theta = 0$ для устойчивого случая, максимум для неустойчивого и горизонтальная прямая $U = \text{const}$ для безразличного.

Гимнастка массой $50\ \text{кг}$ стоит на бревне шириной $10\ \text{см}$; её центр масс находится примерно на $1.1\ \text{м}$ выше поверхности бревна. Наклон на $3°$ смещает центр масс в сторону на $1.1 \times \sin 3° \approx 5.8\ \text{см}$ — это больше половины ширины опоры ($5\ \text{см}$). Как только вертикаль через центр масс уходит за край бревна, вес $mg = 50 \times 9.8 = 490\ \text{Н}$ создаёт относительно этого края опрокидывающий момент $490 \times 0.058 \approx 28\ \text{Н·м}$, и гимнастка падает, если не успеет вернуть корпус.

Это неустойчивое равновесие: при качании вокруг края опоры центр масс опускается, поэтому потенциальная энергия $U = mgR\cos\theta$ максимальна при $\theta = 0$. Классификация опирается на знак момента силы тяжести относительно края опоры: внутри базы шириной $10\ \text{см}$ он возвращает тело, за краем — ускоряет падение.

У двухэтажного автобуса колея (расстояние между колёсами одной оси) $2.0\ \text{м}$, а центр масс поднят на $1.3\ \text{м}$ над дорогой. В повороте радиусом $50\ \text{м}$ на скорости $8\ \text{м/с}$ ($29\ \text{км/ч}$) боковое ускорение равно $a = v^2/r = 1.28\ \text{м/с}^2 \approx 0.13g$. Относительно наружных колёс центробежный эффект даёт опрокидывающий момент $m a h = m \times 1.28 \times 1.3 = 1.7m\ \text{Н·м}$, а сила тяжести удерживает автобус моментом $m g (t/2) = m \times 9.8 \times 1.0 = 9.8m\ \text{Н·м}$. Автобус опрокидывается при $a/g > (t/2)/h = 1.0/1.3 = 0.77$, то есть на скорости выше $v = \sqrt{0.77 \times 9.8 \times 50} \approx 19\ \text{м/с} \approx 70\ \text{км/ч}$.

Устойчивость здесь решает направление полного момента относительно линии контакта наружных колёс: сила тяжести выправляет автобус, инерционный член опрокидывает. Если описать качание вокруг этой линии потенциальной энергией $U = mgR\cos\theta$ с $R = \sqrt{1.0^2 + 1.3^2} = 1.64\ \text{м}$, то наклон наружу поднимает центр масс с $1.30\ \text{м}$ до $1.64\ \text{м}$ — $U$ растёт, и это признак устойчивого равновесия; при $a = 0.77g$ эффективная сила тяжести наклоняется ровно настолько, что этот рост при малых $\theta$ исчезает.

Смартфон длиной $150\ \text{мм}$, шириной $70\ \text{мм}$ и толщиной $8\ \text{мм}$ имеет массу $200\ \text{г}$. Поставленный на длинное ребро, он опирается на полоску шириной всего $8\ \text{мм}$, а его центр масс поднят на $75\ \text{мм}$; наклона всего в $\arctan(4/75) \approx 3°$ достаточно, чтобы вертикаль через центр масс ушла за ребро, и телефон падает. Тот же телефон, лежащий плашмя, скользит туда, куда его толкнули, и остаётся там. Наклон лежащего телефона вокруг длинного ребра поднимает центр масс на $\sqrt{35^2 + 4^2} - 4 \approx 31\ \text{мм}$ прежде, чем он сможет пройти над ребром, — энергетический барьер $mg\Delta h = 0.2 \times 9.8 \times 0.031 \approx 0.06\ \text{Дж}$.

Три случая различаются по виду $U(\theta) = mgR\cos\theta$: максимум для телефона, стоящего на ребре (неустойчивое равновесие), минимум для лежащего телефона при наклоне вокруг ребра (устойчивое) и $U = \text{const}$ при скольжении по горизонтальному столу (безразличное). Решает дело высота центра масс $h(\theta)$, а не значения сил: во всех трёх положениях сумма сил и сумма моментов равны нулю.